脉冲微分包含的旋转周期解

发布时间：2018-02-23 22:40

  本文关键词： 耗散系统 旋转周期解 脉冲条件 微分包含 Horn不动点定理 非凸变分问题　出处：《吉林大学》2016年博士论文　论文类型：学位论文

【摘要】：在对各类自然现象进行观察的过程中,人们发现大千世界中的许多现象和过程由于某种原因,其状态或行为在某些时间和某种环境下会发生突然的改变或明显的变化,而通常的微分方程在这样的情况下已经很难精确描述这种突变的规律,因此人们开始寻找能够更准确的描述这种突变现象的数学模型.脉冲微分方程的相关理论就在这一背景下应运而生.脉冲微分方程的系统理论起源于20世纪60年代V. D. Mil'man和A. D. Myshkis[1]合作发表了关于脉冲外力作用下物体运动稳定性的论文,这是脉冲微分方程领域最早的有影响力的成果.这一类方程的最大特点就是能够反映出系统在受到瞬时突变影响时状态的变化,因此在人口学、物理学、生物学以及控制理论等许多学科中都有着广泛的应用背景.同时,在描述某些状态不确定或者存在某种多值性的系统时,微分包含是比微分方程更加合适的数学工具.本篇博士论文便是以带有脉冲条件的微分方程以及微分包含为对象,讨论了当这类系统具有耗散性时,其周期解以及旋转周期解的存在性问题.本篇博士论文的结构如下.在第一章中,我们简要介绍了与旋转周期性和脉冲现象有关的一些基本定义和重要结果.在第二章中,我们以耗散脉冲微分方程以及耗散泛函脉冲微分方程为研究对象,即系统以及系统在2.1节中,我们首先证明了一个耗散的脉冲微分方程的周期解的存在性,也就是下面的定理.定理0.0.1设(0.0.1)是周期脉冲系统,f和{Ii}i∈Z1关于x满足局部Lipschitz条件,{τi(x)}和{Ii(x)}满足条件i)和ii).如果系统(0.0.1)是耗散的,则(0.0.1)有一个T-周期解.随后,我们考虑一种更加一般化的周期解,也就是旋转周期解,并在2.2节中证明了耗散的脉冲微分方程的旋转周期解的存在性定理.定理0.0.2设(0.0.1)是一个(Q,T)-周期脉冲系统,f和{Ii}i∈Z1关于x满足局部Lipschitz条件,且{τi(x)}和{Ii(x)}满足条件i)和ii).如果系统(0.0.1)是Q-耗散的,则该系统一定有一个(Q,T)-旋转周期解.在第二章的最后,我们讨论了耗散的泛函脉冲微分方程,并证明了这类系统旋转周期解的存在性定理.定理0.0.3如果系统(0.0.2)是(Q,T)-耗散的,则其存在(Q,T)-旋转周期解.正如前文所述,在讨论某些特定问题时,因为研究对象的状态具有某种不确定性或者是多值性,在很多情况下微分包含是比微分方程更加合适的数学工具.因此在第三章中我们讨论了具有耗散性和脉冲条件的微分包含以及泛函微分包含的旋转周期解的存在性.即系统以及系统在3.2节中,我们证明了一个耗散的脉冲微分包含的旋转周期解的存在性定理.定理0.0.4假设f(t,x):R×Rn→K(Rn)是上半连续的,且是(Q,T)-旋转周期的,即对所有的(t,x)∈R×Rn,有其中Q∈GL(n),T0是一个常数,并且一个脉冲条件下的微分包含的解是一致M最终有界的,则微分包含(0.0.7)有(Q,T)-旋转周期解.随后,类似于第二章,我们讨论了同样条件下的泛函微分包含,并证明了旋转周期解的存在性.定理0.0.5假设F:R×Cτ([一r,0])→Comp(Rn)满足如下条件.(H1) F是下半连续的;(H2)对任意t∈R,φ∈Cτ([-r,0])满足||φ||≤M,存在L(M)使得d(F(t,φ),0)≤L(M);(H3)对任意的t∈R,φ∈Cτ([-r^,0]),都有F(t+T,φ)=QF(t,Q-1φ),其中Q∈GL(Rn),T0为常数.令Do (?) D1为Rn中的有界子集,Do为闭集,D1为凸开集.那么,如果泛函微分包含(0.0.5)-(0.0.6)的解是D1-有界的并且是D1-Do局部旋转耗散的,则泛函微分包含(0.0.5)-(0.0.6)在Do中有(Q,T)-旋转周期解.我们在最后一章考虑如下具有三阶Lagrange函数的一维非凸变分问题其中f：[0,1]×R4→R1是连续函数,x∈W2,1(0,1),x(0)=x0,z(1)= x1,x'''于(0,1)内几乎处处存在.该问题的研究对于非凸变分学的发展和非凸Hamilton系统的Mather理论均有积极意义.在适当条件下,我们利用积分-极大极小方法,给出了上述变分问题最优解存在的一个充分条件.事实上,该结论可推广至更为一般的高阶非凸变分问题.
[Abstract]:In all kinds of natural phenomena in the process, people found that many of the universe of 1,000,000,000 universes phenomena and processes for some reason, the state or behavior will be a sudden change or changes in certain times and environment, and the differential equations are usually in such cases is difficult to accurately describe the mutation regularity therefore, people began to search for mathematical model to more accurately describe the mutation phenomenon. The theory of impulsive differential equation is in this context. The origin of system theory of impulsive differential equations in 1960s V. D. Mil'man and A. D. Myshkis[1] published on the pulse motion stability under external force, this is the result of impulsive differential equation the earliest influential. The most important feature of this kind of equation is able to reflect the system is instantaneous State change mutation effect, therefore in demography, physics, biology, control theory and so many disciplines have a wide application background. At the same time, in the description of some uncertain state or the existence of a multi value system, differential inclusions is a mathematical tool is more appropriate than the differential equations. This dissertation will with the pulse condition of differential equation and differential inclusions are discussed as the object, when this kind of system is dissipative, the rotation of the periodic solution and the existence of periodic solutions. This dissertation is structured as follows. In the first chapter, we briefly introduce some basic definitions and important results related to rotation periodicity and pulse phenomena. In the second chapter, we take the dissipation of impulsive differential equations and impulsive differential equations with dissipation function as the research object, the system and the system in Section 2.1, we first 璇佹槑浜嗕竴涓�瑁�

本文编号：1527909