一维上Moran测度的谱性

发布时间：2018-03-10 15:06

  本文选题：无穷卷积　切入点：自相似测度　出处：《华中师范大学》2017年博士论文　论文类型：学位论文

【摘要】：令μ是欧式空间Rd上具有紧支集的Borel概率测度。建立在测度μ上傅里叶分析的基本问题是:是否存在可数子集A (?) lRd使得复指数函数族,E(∧):={e2πiλ,x}λ∈∧构成L2(μ)的正交基(傅里叶基),其中L2(μ)是关于测度μ平方可积函数构成的希尔伯特空间。若存在,则称μ为谱测度,∧为谱测度μ的谱。我们通常也称(μ, ∧)为一个谱对。谱测度理论的研究始于上世纪70年代Fuglede提出的猜想,蓬勃发展于本世纪初,目前已是测度上傅里叶分析及应用中的研究热点之一。谱测度是测度中的特殊类,至今仍知之不多,特别是奇异谱测度。本学位论文的主要目的是找到(构造)新的谱测度,以及研究已知谱测度的谱特征值问题。为了达到这一目的,我们主要研究Moran测度。在选择正交集使它成为谱集时提出了一些创造性的方法和新技巧,从而对谱结构亦有了新的认识。与此同时,我们意外地发现遍历理论中的Weyl判定和谱测度有内在联系。这些想法和技巧构建了本学位论文。本文共分为六章。在第一章,我们介绍谱理论的研究背景和研究动机。第二章介绍谱理论的基础概念和相关结论。随后的四章则是本文的核心内容。第三章,我们主要研究Cantor-Moran测度μ{pn},{dn}在条件0 dn pn限制下的谱性。我们证明了若增加条件2|pn/gcd(dn,pn)对所有的n成立,此时测度μ{pn},{dn}为谱测度。需要注意的是在本章中我们并没有假设条件sup{dn} ∞。在本章的最后,我们给出几个例子说明我们提出的条件是重要的。本部分内容发表在 J.Funct.Anal.上。第四章,我们完整的刻画了 Cantor-Moran测度μ{pn},{an,b}在条件max{an,6n}pn限制下的谱性。若去掉限制条件max{an,bn}pn,我们给出测度μ分别为谱测度和非谱测度的充分条件。这是至今没有探讨过的问题,并且对于找出非谱情形更为困难。第五章,我们研究一类R上随机卷积谱测度的谱特征值问题。一个实数p称为谱测度μ的特征值是指:存在离散集A使得A和pA均为谱测度μ的谱。在此我们研究了几类谱测度,给出了实数p为它们的谱特征值的充分必要条件。该文已投稿。第六章,我们分析遍历理论中的Weyl判定和谱测度之间的关系。我们证明了对于所有的离散测度,Bernoulli测度μ2k,{-1,1}和限制在两个区间并上的勒贝格测度均满足广义Weyl判定。基于对谱测度性质的了解,我们猜想:Borel概率测度空间(μ, T)满足广义Weyl判定当且仅当测度μ为谱测度。
[Abstract]:Let 渭 be a Borel probabilistic measure with compact support on the Euclidean space Rd. The basic problem of Fourier analysis based on the measure 渭 is: is there a countable subset A? LRd makes the family of complex exponential functions E (A) = {e 2 蟺 I 位 X} 位 鈭，

本文编号：1593865