实Clifford代数及其单位群的子群

发布时间：2018-03-31 06:12

本文选题：Clifford代数　切入点：张量积　出处：《吉林大学》2016年博士论文

【摘要】：Clifford代数是由英国数学家W.K.Clifford(1845-1879)引入的一类结合代数,其目的是为了把四元数推广到任意有限维的情形.由于Clifford代数具有通用性的特点以及它有直观的几何解释,使得其在物理、黑洞、宇宙论、量子轨道、量子场理论、机器人、计算机视觉等领域有广泛应用Clifford代数的研究以Cartan与Atiyah,Bott和Shapiro给出了实Clifford代数的八周期理论达到了空前的高峰.本文在八周期理论的基础上,研究了实Clifford代数Clp,q在中心上的张量积及表示,实Clifford代数Clp,q的单位群的矩阵表示,Clifford群的性质和实Clifford代数的生成空间一n维Minkowski空间中的格序半群结构.本文内容安排如下：第一章介绍了本文研究的背景、相关进展以及我们得到的一些主要结果.第二章介绍了与本文研究相关的预备知识.第三章首先我们研究了实Clifford代数Clp,q在中心上的张量积和矩阵表示.根据实Clifford代数的八周期理论给出了实Clifford代数Clp,q的张量积的统一表达式,并同时给出了张量积形式下的矩阵表示.定理3.1.3.对于任意非负整数p,q,我们有其中p+q≡ε mod 2,k=((p+q)-ε)/2,p-|q-ε|≡i mod 8,δ=[i/4],[i/4]表示i/4的整数部分.推论3.1.1.其中p+q≡ε mod 2,k=((p+q)-ε)/2,p-|q-ε|≡i mod 8,δ=[i/4].接着我们给出了实Clifford代数Cl0.2k+1的一个较简单的张量积及矩阵表示.定理3.2.1.设k是非负整数,则其中2k+1≡αmod 8,δ=[1-{α/3}],{α/3}为α/3的小数部分.定理3.2.2.设k是非负整数,其中2k+1≡α mod 8,δ=[1-{α/3}].最后,我们讨论了实Clifford代数Clp,q的张量积因子Cl1,1的结构.在第四章中,首先我们给出了实Clifford代数的矩阵表示分类.定理4.1.1.对于非负整数p,q,任取F∈End(Clp,q),则F在Cen(Clp,q)上的限制映射f∈End(Cen(Clp,q))满足其中p+g≡εmod 2,k=((p+q)-ε)/2,p-|q-ε|≡i mod 8,δ=[i/4].接下来我们给出了Clp,q(p+q=3)的忠实的实矩阵表示与非忠实的实矩阵表示,进而能够算出实Clifford代数的全部的实矩阵表示.在第五章中,首先根据第三章与第四章我们研究的实Clifford代数的张量积与表示讨论了实Clifford代数的单位群Clp,q*的矩阵表示.定理5.1.1.其中p+q≡ε mod 2,k=((p+g)-ε)/2,p-|q-ε|≡i mod 8,δ=[i/4].然后我们利用实Clifford代数的三种对合刻画了实Clifford代数Clp,q,(p+q=3)的可逆元的特点并给出了其单位群的矩阵表示.定理5.2.2.令Z(Clp,q)表示Clp,q的零因子集.(1)Cl0.3*={α+βe123∈Cl0,3|α,β∈e1,e2,α≠±β},Cl2,1*={α+βe123∈Cl2,1|α,β∈e1,e2,(α≠β)(α±β)≠0},Cl3,0*={α+βe123∈Cl3,0|α,β∈e1,e2,aa≠0}.(z)Z(Cl0,3)={α+βe123∈Cl0,3|α,β∈e1,e2,α=±β},z(Cl2,1)={α+βe123∈Cl2,1|α,β∈e1,e2,(α±β)(α±β)=0},z(Cl3,0)={α+βe123∈Cl3,0|α,β∈e1,e2,αα=0}.接下来,利用Clifford群Γp,q。与Rp,q基元的关系,刻画了Clifford群的三个子集的关系.定理5.3.1.设p,q是非负整数,令Γ1={α∈Cl[,q*| αxα-1'∈Rp,q,qq∈R,(?)x∈Rp,q}, Γ2={α∈Clp,q*| αxα∈Rp,q,qq∈R,(?)x∈Rp,q}, Γ3={α∈Clp,q*| αeiα∈Rp,q,i=1,…,p+g,aa∈R},则r1=r2=r3.最后,我们研究了实Clifford代数Cln-1的生成空间Rn-1,1中的格序半群结构.
[Abstract]:......
【学位授予单位】：吉林大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O177;O152

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