非线性差分方程周期解的稳定性及其应用

发布时间：2016-11-11 20:14

  本文关键词：非线性差分方程周期解的稳定性及其应用，由笔耕文化传播整理发布。

《吉林大学》 2015年

非线性差分方程周期解的稳定性及其应用

张丽春  

【摘要】：差分方程是一种离散的随时间变化的数学模型,在现实社会中,离散变化的现象随处可见.它的出现已有上百年的历史,其中,有理型差分方程备受众多研究学者的青睐.随着差分方程的发展,稳定性、渐近性、分支以及优化控制的问题进入了许多数学爱好者的视野.差分方程有着很广泛的应用,除了数学领域外,它还出现在物理学、生物学、自动控制、种群动力学、经济学和医学等许多其它学科及其分支中.正是基于差分方程在各领域的广泛应用,线性、非线性差分方程的周期解的稳定性问题引起了国内外许多数学工作者的关注. 本文主要研究了非线性有理型差分方程周期解的稳定性和应用的问题,利用稳定流形定理及相关理论,给出了一类二阶差分方程二周期解的稳定性结果,讨论了一类三阶差分方程的渐近性和稳定性的问题.最后给出一个应用,确定了离散最优控制的最优捕鱼策略. 本论文共分为四章： 第一章主要介绍了差分方程的研究背景和研究现状,给出本论文要用到的基础知识和基本理论. 第二章研究了下面二阶有理型非线性差分方程二周期正解的局部稳定性.这里A,b0,a≥0都为实数,且初始条件x-1和x0为任意正实数.结论是这个二阶非线性差分方程的最小二周期正解是不稳定.我们应用的是稳定流形定理,这个处理方法对此类二阶有理差分方程是有效的,前人还没给出这个方程二周期解稳定性的结果. 第三章讨论了三阶有理型非线性差分方程解的渐近行为和解的稳定性.这里(x_2,x-1,x0)∈R3且参数a,b为任意实数.首先给出解的显式表达式,之后描述解的渐近行为,最后分析这个三阶非线性差分方程周期解的稳定性问题.根据参数a的范围不同,解的稳定性也不一样. 第四章我们给出一个应用,确定了离散最优控制问题的最优捕鱼策略.并给出了推广.我们的方法对离散最优控制问题是新的且有效的,这种方法是不同于其他最优化方法的,比如传统的变分法,Pontryagin极大值原理或者动态规划方法等等.模型的基本构造是有关鱼苗增长的传统的Logistic函数.对捕鱼的离散最优控制方法是用来确定每次的最优捕鱼策略的.我们工作的主要特点在于对最优控制问题的严格的数学分析.我们分析出怎样确定鱼苗的最优初始投放量和最优捕获策略来确定全局捕鱼量达到最优.接下来,当鱼苗的初始投入数量低于或者高于这个最优初试投放量,或者鱼苗的内禀增长率R太小时,为了让全局捕获量达到最优,我们认为在最初几年最好不要进行捕鱼操作,最后,给出几个典型的例子来验证我们结论的正确性.

【关键词】：
【学位授予单位】：吉林大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175.7
【目录】：

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