两类不可压缩流体力学方程组的全局适定性

发布时间：2018-05-19 23:01

  本文选题：不可压缩Navier-Stokes方程组 + 不可压缩MHD方程组　； 参考：《华南理工大学》2016年博士论文

【摘要】：本文主要研究两类重要的流体力学方程组：非齐次不可压缩Navier-Stokes方程组和非齐次不可压缩磁流体力学(MHD)方程组Navier-Stokes方程组是一类描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程组.磁流体力学(MHD)方程组主要描述了磁场与导电流体(等离子体,液态金属等)之间的相互影响.本文分为三个部分,第一部分主要研究了当初值满足一类“非线性小”条件时,Navier-Stokes方程组Cauchy间题在临界Besov空间中的全局适定性,并且构造了一类满足该“非线性小”条件的初值,然而这些初值(及其各分量)在对应的Besov范数意义下可以任意大.第二部分研究了对于非齐次不可压缩MHD方程组Cauchy问题在临界Besov空间中的全局适定性.类似地,构造了一类满足该“非线性小”条件且所有分量在Besov范数意义下可以任意大的初值.第三部分主要研究在允许初始真空出现和不允许初始真空出现两种情形下,当初值满足某种小性条件时,变粘性变电导率不可压缩MHD方程组在某些Sobolev空间中强解的全局存在唯一性和大时间行为.本文的主要结论如下第二章研究下列非齐次不可压缩Navier-Stokes方程组的Cauchy司题：首先,在密度ρ远离真空(做变换a：=1/ρ-1)情况下,我们证明了当初值(a0,u0)在临界Besov空间Bn/qq,1(Rn)×Bn/p-1p,1(Rn)((p,q)∈[1,2n)×[1,∞),-1/n≤1/p-1/q≤1/n)中满足下列“非线性小”条件时,方程组(0-1)全局适定.其次,为了说明“非线性小”条件(0-2)的合理性,构造了一类初值(εa0,u0,ε)确实满足(0-2),然而速度场u0,ε的所有分量在空间Bn/p-1p,1(Rn)(np2n)中可以任意大.具体地说,从动量方程中抽取一个自由热方程,令其承担初值,进而转化为对剩余方程组的适定性研究.我们充分利用加权的Chemin-Lerner型范数,交换子估计等工具,首先,对输运方程进行估计;其次,对某些线性Stokes方程进行估计,进而得到剩余方程组中速度场,磁场和压力项的先验估计；最后,根据连续性方法,通过选取合适的权函数得到封闭的能量估计.第三章研究下列三维非齐次不可压缩MHD方程组的Cauchy问题：本章首先证明了对任意的1q≤p6,1/q-1/p1/3,当初值(a0,u0,b0)(α0:=1/ρ0-1)在临界Besov空间B3/qq,1(R3)×B-1+/PP,1(R3)×B-1+3/PP,1(R3)中满足下列“非线性小”条件其中方程组(0-3)存在唯一全局解.其次,类似于Navier-Stokes方程组情形,我们构造了一类初值(εα0,u0,ε,b0,ε)确实满足(0-4),然而u0,ε,b0,ε的所有分量在空间B-1+3/pp,1(R3)中可以任意大.第四章考虑了变粘性变电导率的不可压缩MHD方程组在光滑有界区域Ω(?)R3上的初边值间题.本章证明了当密度,速度场和磁场满足下列初边值条件且初始速度场和初始磁场满足某种小性条件,但对初始密度没有任何小性要求时,MHD方程组在允许初始真空出现和不允许初始真空出现两种情况下强解全局存在唯一.同时还得到了两种情形下解的大时间行为.更准确地说,首先对粘性系数和磁场耗散系数提如下先验假设根据能量方法我们得到了时间加权的全局先验估计,其中这些先验估计并不要求条件ρ≥ρ0.进而得到了足以保证%溅，

本文编号：1912056