两类空间分数阶偏微分方程模型有限差分逼近的若干研究

发布时间：2017-03-17 19:05

  本文关键词：两类空间分数阶偏微分方程模型有限差分逼近的若干研究，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：近几十年来,分数阶微积分理论被广泛的应用于力学和工程建模中复杂现象的模拟；一般而言,相对于经典的牛顿-莱布尼兹微积分理论框架下的数学模型,分数阶导数建模能够对复杂环境中所涉及的记忆和遗传性(Heredity)、非局部性(Non-locality)、自相似性(Self-similarity) 、路径依赖性(Long-range-dependence)等“反常”性质提供更为深刻全面的阐释.但分数阶算子的复杂性和非局部性给模型的求解带来了诸多的困难,鉴于解析技术的局限性,通常情况下借助于数值算法来实现分数阶模型的求解。本文主要讨论两类空间分数阶模型即守恒形式下的变系数反常扩散模型与Riesz空间分数阶电报模型；构造两类模型分别在一维和二维情形下的有限差分逼近格式,分析格式的稳定性和收敛性；建立格式的高效快速算法；讨论空间分数阶模型中一类重要的参数识别问题.具体地：第一章简单介绍分数阶微积分理论的发展历史,给出文中涉及的几类分数阶导数的定义,浅谈本文的研究背景以及现行的空间分数阶模型数值算法；最后给出文章的主题结构。第二章的内容主要来源于A fast semi-implicit difference method for a nonlinear two-sided space frac-tional diffusion equation with variable diffusivity coefficients, Appl. Math. Com-put. 257 (2015) 591-601.首先根据分数阶Fickian定律我们建立了如下的一维非线性变系数空间分数阶反常扩散模型(?) a≤ x≤b,0 α 1,t 0,其中αDxα xDbα为α阶Riemann-Liouville左右分数阶算子。对于给定的齐次边值条件和非齐次初始条件,利用Riemann-Liouville导数与Grunwald-Letnikov导数的等价性我们推导出上述模型的半隐式有限差分逼近,分析了格式的相容性、可解性、稳定性和收敛性；鉴于空间分数阶模型数值离散所导出线性方程组的系数矩阵几乎满阵的问题,我们借助于快速Fourier变换(FFT)技术和Fourier矩阵结构分解构造了快速的双共轭梯度稳定化算法Toeplitz对于n阶线性系统,该算法将(FBi-CGSTAB);消元法所需要的O(n2)存储量与O(n3)计算量降至O(n)与Guass明显的减少了差分格式实现过程中涉及的复杂度和所需要的CPU时间。通过两个数值算例来验证半隐式差分格式的精度和快速算法的可靠性和高效性。数值算例一的计算结果表明我们所给出的半隐式格式具有空间一阶收敛精度；数值算例二表明O(nlogn),算法、Bi-CGSTAB算法均能到达FBi-CGSTAB消元法的计算精度,但对于1024阶线性代数系统循环1024次,高斯消元法需要计算12小时以上,而快速双共轭梯度稳定化算法只需要少于19秒的时间。第三章的内容主要来自于Guass Fast finite difference scheme for the parameter identification of a two di-mensional space-fractional diffusion equation with variable diffusivity coefficients,首先我们根据非局部分数阶Submitted to SIAM Journal on Numerical Analysis.定律导出了如下守恒形式下二维变系数反常扩散模型Fickian (?) (x, y)∈Ω, 0 α1,0β1,t 0.我们考虑上述模型中一类重要的参数估计问题,即如何由最终观测数据u(x,y,T)=g(x,y), (x,y)∈Ω,获得模型中分数阶导数阶数α,β估计的问题；这是一类不适定问题(Ill-Posed)。基于标准的和带有位移的Grunwald-Letnikov公式给出了正问题的隐式有限差分逼近,分析了格式的可解性、稳定性和收敛性；考虑到二维差分格式所涉及的计算复杂度问题,我们将FBi-CGSTAB算法推广到二维情形,基于差分矩阵的特殊结构分解与二维FFT技术实现快速算法,分析了算法的复杂度和存储量等问题。对于逆问题,给出了参数估计所对应的非线性最小二乘模型,提出了相应的线性化二次模型；数值实验表明一般迭代算法中所需的Jacobian矩阵在空间分数阶模型情形下为严重病态矩阵(severe rank-deficient);为了解决参数反演的不适定性,我们提出正则化的Levenberg-Marquardt (L-M)算法与Armijo准则相结合来确保每次迭代搜索的有效性,同样避免了正则化参数选择的难题。数值算例显示,基于快速算法的L-M正则化算法从无噪噪数据和有限水平(0.05%与0.1%)噪音数据中均能快速有效的数值反演出分数阶导数阶数α,β。由于空间分数阶算子模型求解的复杂性,目前关于分数阶导数阶数反演的文献较少,尤其是空间分数阶模型中的参数反演问题,本章提出的方法为该分数阶模型的参数反演提供了有效的求解工具。第四章的内容主要来自于High order unconditionally stable difference schemes for the Riesz space-fractional telegraph equation, J. Comput. Appl. Math. 278(2015) 119-129.本章主要研究一维Riesz空间分数阶电报模型(?) a≤x≤b, 0≤t≤ T, 1γ≤ 2,的高阶差分格式,其中RDxγ为7阶Riesz分数阶导数算子。基于Pade逼近技术,本章给出了三种高阶格式,即时间方向二阶、四阶与六阶格式。首先引入新变量将原模型转化为时间方向低阶系统,进而利用空间Riesz导数的中心差商逼近得到系统的半离散格式；利用(1,1),(2,2),(3,3)阶Pade逼近理论给出O(h2+τ2),O(h2+τ4)与O(h2+τ6)阶全离散格式,其中h,τ分别为空间和时间方向步长；通过分析差分格式增长矩阵的特征值证明了三种格式的唯一可解性、稳定性与收敛性。数值算例中比较了三种格式在不同分数阶导数下时间和空间方向上的收敛阶,验证了三种格式求解常系数分数阶电报方程和变系数分数阶电报方程时的精度.第五章的内容主要来自于Fast high order finite difference scheme for the two-dimensional Riesz space-fractional telegraph equation, Submitted to Numerical Methods for Partial Dif-ferential Equations.本章研究了二维Riesz空间分数阶电报模型(?) f(x,y,t), (x,y)∈Ω,0t≤T,的快速高阶差分格式.在空间导数方向上采用二阶分数阶中心差商,借助于矩阵张量积给出了上述模型的半离散格式；时间导数方向上,我们首先利用三次样条插值导出了一种时间方向四阶格式,最后获得O(hx2+hy2+τ4)阶全离散格式,其中hx,hy,τ分别为空间x,y与时间方向差分步长；分析了差分格式的唯一可解性、稳定性与收敛性；将快速算法用于二维Riesz空间分数阶电报模型差分格式的实现,分析了快速算法中所涉及的计算量等问题。数值算例比较了快速迭代算法、Gauss消元法与传统迭代法的计算精度与效率。数值结果表明,对于二维Riesz空间分数阶电报模型的高阶差分格式,迭代算法(包括快速算法)与高斯消元法具有相同的求解精度；在相同的求解精度下,快速的双共轭稳定化算法能够很大程度上减少计算的复杂度从而达到节约CPU时间的效果。具体地,对于计算规模为M=N=K=26的问题,高斯消元法需要大于15天的CPU时间,Bi-CGSTAB算法需要586.2050秒的CPU时间而FBi-CGSTAB算法仅需要4.2276秒的CPU时间,其中M,N,K分别为空间x,y与时间方向上的网格剖分点数。第六章给出本文的总结和未来的研究工作展望。
【关键词】：空间分数阶变系数反常扩散模型 Riesz空间分数阶电报模型 参数反演 L-M正则化算法 有限差分逼近 稳定性与收敛性分析 计算复杂度 快速双共轭稳定化算法
【学位授予单位】：山东大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O241.5
【目录】：

• 中文摘要9-13
• ABSTRACT13-16
• 符号说明16-20
• 第一章 绪论20-30
• 1.1 分数阶微积分历史简介20-23
• 1.2 本文的研究背景23-26
• 1.3 本文的研究内容26-30
• 第二章 一维非线性变系数空间分数阶反常扩散模型的有限差分格式30-50
• 2.1 数学模型30-32
• 2.2 有限差分逼近32-40
• 2.2.1 半隐式差分格式33-34
• 2.2.2 差分格式的理论分析34-40
• 2.3 快速迭代算法40-43
• 2.3.1 系数矩阵的有效存储40-41
• 2.3.2 快速双共轭梯度稳定化算法41-43
• 2.4 数值算例43-48
• 2.5 本章小结48-50
• 第三章 二维变系数空间分数阶反常扩散模型以及参数反演问题的讨论50-68
• 3.1 数学模型50-53
• 3.2 正问题的有限差分格式53-60
• 3.2.1 有限差分格式的推导54-56
• 3.2.2 稳定性与收敛性56-58
• 3.2.3 快速迭代算法58-60
• 3.3 参数反演问题的正则化算法60-62
• 3.3.1 正则化算法的推导60-61
• 3.3.2 正则化算法的流程61-62
• 3.4 数值算例62-67
• 3.4.1 正问题快速算法的有效性62-64
• 3.4.2 正则化算法的有效性64-67
• 3.5 本章小结67-68
• 第四章 一维Riesz空间分数阶电报方程的高阶差分格式68-84
• 4.1 数学模型68-70
• 4.2 高阶差分格式70-73
• 4.2.1 求解区域剖分70-71
• 4.2.2 空间方向离散71-72
• 4.2.3 时间方向离散72-73
• 4.3 差分格式的理论分析73-77
• 4.4 数值算例77-83
• 4.5 本章小结83-84
• 第五章 二维Riesz空间分数阶电报方程的高阶差分格式84-96
• 5.1 数学模型84-85
• 5.2 高阶差分格式85-91
• 5.2.1 空间方向离散86-87
• 5.2.2 时间方向离散87-89
• 5.2.3 差分格式的理论分析89-91
• 5.3 快速迭代法91-92
• 5.4 数值算例92-95
• 5.5 本章小结95-96
• 第六章 总结96-98
• 参考文献98-124
• 致谢124-126
• 攻读博士学位期间完成的工作126-128
• 作者简介128-130
• 学位论文评阅及答辩情况表130

【参考文献】

中国期刊全文数据库 前5条

1 同登科,王瑞和;分形油藏非Newton黏弹性液分数阶流动分析[J];中国科学G辑:物理学、力学、天文学;2004年01期

2 徐明瑜;谭文长;;中间过程、临界现象——分数阶算子理论、方法、进展及其在现代力学中的应用[J];中国科学G辑:物理学、力学、天文学;2006年03期

3 朱克勤;;非牛顿流体力学研究的若干进展[J];力学与实践;2006年04期

4 HUANG JianFei;NIE NingMing;TANG YiFa;;A second order finite difference-spectral method for space fractional diffusion equations[J];Science China(Mathematics);2014年06期

5 E.ORSINGHER,ZHAO XUELEI;THE SPACE-FRACTIONAL TELEGRAPH EQUATION AND THE RELATED FRACTIONAL TELEGRAPH PROCESS[J];Chinese Annals of Mathematics;2003年01期

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本文编号：253314