凯勒流形上带有锥奇性的凯勒—里奇流

发布时间：2017-03-19 00:03

  本文关键词：凯勒流形上带有锥奇性的凯勒—里奇流，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：凯勒-里奇流(Kahler-Ricci flow)是几何分析和偏微分方程研究中的一个重要课题。自从上世纪八十年代由H.D. Cao在文献中引入之后,经过H.D. Cao, A. Chau, X.X. Chen, G. Perelman, D. Phong, W.X. Shi, J. Song, J. Sturm, G. Tian, B. Weinkove以及X.H. Zhu等人的不断研究完善,凯勒-里奇流已经发展为一个独立的广阔领域,并且渗入到几何研究中的许多不同方面,例如凯勒-爱因斯坦度量的存在性问题,凯勒流形的分类问题以及非凯勒情形下某些几何流的存在性问题等。凯勒-里奇流对这些问题的研究和解决起着重要的推动作用。 在本文中,我们对一类带有奇性的凯勒-里奇流——锥奇性凯勒-里奇流(conical Kahler-Ricci flow)进行针对性研究。我们将主要讨论其长时间解的存在性及收敛性问题。对于光滑的凯勒-里奇流,上述问题已经有了比较完善的研究。但对于带有锥奇性的凯勒-里奇流,这方面的相关研究则刚刚展开。在对带有锥奇性凯勒-里奇流的研究过程中,我们将把它与挠动凯勒-里奇流(twisted Kahler-Ricci flow)结合起来讨论。首先,利用挠动凯勒-里奇流光滑逼近的方法,我们得到了锥奇性凯勒-里奇流长时间解的存在性。之后,通过对光滑凯勒-里奇流情形下Perelman估计进行适当改进,我们得到了沿一列挠动凯勒-里奇流的一致Perelman估计。最后,在这些结果的基础上,我们讨论了法诺流形(Fano manifold)上锥奇性凯勒-里奇流的收敛性,得到了下述主要定理： 定理0.1.设M为一个复维数为n的法诺流形,ω0是第一陈类(the first Chern class)2nc1(M)中的一个光滑凯勒度量,h是反典范丛(anti-canonical bundle)-KM上曲率为ω0的光滑埃尔米特度量(Hermitian metric), D∈|-KM|为流形M上的一个光滑除子(smooth divisor),s为除子D的定义截面(defining section)。对任意β∈(0,1),锥奇性的凯勒-里奇流存在唯一的长时间解ω(t)。 更进一步,如果存在一个沿除子D锥角为2πβ口的锥奇性凯勒-爱因斯坦度量(conical Kahler-Einstein metric) ωβ,D,那么ω(t)沿锥奇性凯勒-里奇流(1)一定收敛到度量ωβ,D。这个收敛性在除子D之外是局部的光滑收敛,在流形M整体上是流动形(currents)意义下收敛。 由前面介绍可知,定理0.1的证明会依赖相关的正则性理论以及一致的Perelman估计等重要结果。在本文中,我们将会对这些理论给予讨论。下面,我们把文章中所涉及的重要结果列举如下。 一般地,对方程而言,研究其解的整体高阶正则性估计是非常重要的。但是如果解的整体高阶正则性估计并不能满足研究的需要,进而考虑其局部的高阶正则性也是非常有意义的。这里,根据后文中关于锥奇性凯勒-里奇流解的存在性证明的实际需要,我们将研究挠动凯勒-里奇流解的局部高阶正则性估计。值得注意的是,为了得到一列抛物Monge-Ampere方程的解φε(t)在任意时空区域K×[0,T]cc(M＼D)×[0,T]上的各阶一致估计(这里的估计既包含关于空间变量的各阶导数估计也包含关于时间变量的各阶导数估计；一致性体现在该估计不依赖于ε和t),这里我们并没有利用通常的抛物Schauder估计,原因是通常的抛物Schauder估计不能得到零时刻附近的高阶一致性估计,仅可以得到K×[δ,T]上的高阶一致性估计,其中δ0并且这个估计依赖于6。我们的方法是将曲率,以及φε(t)的各阶导数估计和椭圆估计结合起来讨论。 我们记其中%，

本文编号：255207