几类分段光滑系统的分支问题

发布时间：2017-03-27 03:07

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【摘要】：本文主要研究几类平面分段连续哈密顿系统在小扰动下的分支问题.与光滑系统相比,分段光滑系统中可存在一种称为广义奇点的特殊奇点.根据奇点或者广义奇点的位置及类型,在二维相空间中未扰系统可能出现一类非光滑甚至不连续的周期轨.利用首阶Melnikov函数的展开式,讨论了几类不同闭轨扰动后产生的极限环个数.其中经过巧妙的变量变换及技巧性的运算,利用展开式中若干自由系数和隐函数定理得到极限环可存在的最大个数的下界.全文分为五章,具体内容如下：第一章是绪论,主要介绍了所研究课题的背景,预备知识及本文所用的研究方法.第二章讨论了一类具有一个或者两个双曲鞍点和以原点为广义中心的线性分段哈密顿系统的分支问题.通过引入拓扑变换,得到Melnikov函数在有界区域中的表达式.针对所考虑极限环的不同位置,分析了Hopf分支,Poincare分支及同异宿分支,给出了极限环个数的新结果,补充研究了文献「53]所提出的分段线性哈密顿系统13种不同情况中的分支问题.在第三章中我们考虑了一类以原点为广义鞍点或者双曲鞍点的分段光滑Lienard系统在小扰动后的分支问题.未扰系统出现同宿轨或者双同宿轨,通过比较小的多项式扰动后,在同宿轨或者双同宿附近的闭轨产生了极限环,通过Melnikov函数的展开式,利用其单根与极限环对应的关系,得到极限环关于最大个数的尽可能大的下界.在第四章中,我们对未扰系统中的奇点的类型有了限定,研究了一类具有双同宿轨的特殊分段系统,其中在小扰动下,对三族闭轨分别求得Melnikov函数,确定了其三个展开式中系数表达式的关系,从而得到了关于极限环个数问题的新结果.在第五章中,我们进一步对奇点的类型做了推广,分析一类带有高次奇点及初等奇点的分段多项式系统,列出了17种不同条件下带有不光滑闭轨的未扰系统条件.并针对其中一种带有异宿环的情况,详细分析了异宿环附近的极限环个数,得到关于极限环最大个数的下界,并举例说明结论.
【关键词】：分段光滑系统 哈密顿系统 Lienard系统 极限环 Melnikov函数
【学位授予单位】：上海师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175
【目录】：

• 摘要4-6
• Abstract6-9
• 第一章 绪论9-16
• 1.1 研究背景及预备知识9-14
• 1.1.1 分段光滑系统9-11
• 1.1.2 分支问题及研究方法11-14
• 1.2 本文的主要工作14-16
• 第二章 线性系统在有限项多项式的小扰动下的分支问题16-35
• 2.1 预备知识及主要结果16-20
• 2.2 预备引理20-24
• 2.3 定理2.1.1的证明24-35
• 第三章 一类分段Lienard系统在小扰动下的分支问题35-59
• 3.1 研究背景35
• 3.2 预备引理35-50
• 3.3 主要结果50-59
• 第四章 一类带有双同宿轨的分段光滑系统在分段多项式扰动下的分支问题59-73
• 4.1 预备知识59-61
• 4.2 主要结果61-70
• 4.3 应用70-73
• 第五章 带有幂零奇点的一类分段光滑系统的分支分析73-88
• 5.1 研究对象73-77
• 5.2 情况I_3的分支分析77-84
• 5.3 应用84-88
• 第六章 总结和展望88-89
• 参考文献89-94
• 攻读学位期间取得的研究成果94-95
• 致谢9

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本文编号：269769