水波中某些非线性发展方程的适定性

发布时间:2020-07-03 11:14
【摘要】:本文主要研究两类非线性发展方程:广义浅水波方程和Boussinesq方程组.本文中研究的广义浅水波方程是常见浅水波方程在可积系统中的推广.它们在水波,非线性光学,激光和等离子体物理领域有着重要意义,并在数学上有着广泛的理论研究价值.本文主要是讨论这些方程的局部适定性,并附有一些不适定性以及有限时间爆破准则的结果.Boussinesq方程组是大气、海洋环流,自然通风和中央供暖系统等问题中一个非常有用的模型,也是地球物理动力学中最重要的模型之一.此外2维Boussinesq方程组与3维Euler方程有着紧密的关联.事实上,2维无粘性的Boussinesq方程组可以看做是3维轴对称Euler方程组在涡度远离对称轴r=0时的一个模型.研究2维Boussinesq方程组会为最终解决Euler方程的适定性提供有利线索.第二章研究具有高阶非线性项的广义CH方程?tu-utxx+(k+2)ukux=(k+1)uk-1uxuxx+ukuxxx,t0,x∈R的Cauchy问题.通过Littlewood-Paley分解,Bony仿积理论以及输运方程理论和Osgood引理,我们证明了初值在临界Besov空间B3/22,1中的局部适定性以及B3/2的不适定性.这其中,Osgood引理对克服因临界指标引起的困难起到了关键作用.第三章进一步研究二分量CH类型可积系统mt+12(uv-uxvx)mx=-12((uv-uxvx)x-(uvx- uxv))m-bux,nt+12(uv-uxvx)nx=-12((uv-uxvx)x+(uvx- uxv))n-bvx,m = u-uxx,n=v-vxx的Cauchy问题.利用第二章中已有的基本理论框架并补充一个输运方程在低正则性初值空间B-1/2解的存在唯一性定理,我们得到了方程组的Cauchy问题初值在临界空间B1/22,1中解的存在唯一性和H¨older连续依赖关系.第四章,继续考虑了具有多重非线性指标的广义Camassa-Holm方程,得到了比较一致的结果.这表明,我们的方法具有很好的适用性.第五章研究具速度粘性的Boussineq方程组:(Bν,0)??tu- ν?u + u · ?u + ?π = θe2,(t, x) ∈ R+× ?,? · u = 0,?tθ + u ·?θ=0,的初边值问题.在这里我们试图找到初值u0,θ0尽可能大的空间,使得对应的强解全局存在唯一.这里我们主要用到了能量方法.此外,我们还证明了Bν,0初边值问题的解可以由全粘性Boussineq方程组Bν,κ在相应初边值条件下的解在温度粘性趋于零时强收敛得到.第六章继续研究了具有温度粘性的Boussineq方程组,找到了相应尽可能大的空间,得到了其强解的全局存在性.然而,之前的方法在论证这个方程组解唯一性时不尽有用,这使得关于唯一性的结果需要另外找寻线索,这也表明在Boussineq方程组中两种粘性对解的适定性影响有差异.
【学位授予单位】:华南理工大学
【学位级别】:博士
【学位授予年份】:2015
【分类号】:O175

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本文编号:2739585

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