一类Lie-Poisson Hamilton系统的若干方面

发布时间：2020-07-28 13:52

【摘要】：本文主要研究与孤子方程相关的Lie-Poisson Hamilton系统的两方面内容:第一,讨论与一个孤子方程相关的Lie-Poisson Hamilton系统之间的关系.其一,与一个孤子方程相联系的标准辛结构下有限维可积系统是Lie-Poisson框架下有限维可积系统几种不同的辛实现形式.其二,一个孤子方程对应一种约束Hamilton系统,它就是由Bargmann约束产生的Hamilton系统,其它约束系统(Neumann约束,高阶约束)是Bargmann约束系统不同维数的体现.第二,处理由与Lie代数gl(3)及其子代数对应的3×3 Lax矩阵产生的与孤子方程相关的有限维可积系统,包括与Boussinesq方程相关的Lie-Poisson Hamilton系统以及几种Gaudin模型对解三波方程,耦合非线性Schr¨odinger方程的应用.并证明这些系统的Liouville可积性.进一步,在Casimir函数的公共水平集上构造可分离变量,利用Hmailton-Jacobi理论引入作用-角变量得到Lie-Poisson Hamilton系统以及与其相联系的这些孤子方程的Jacobi反演问题.本文可以概括为以下几方面:I.利用Poisson结构和余伴随表示理论,研究Lie-Poisson框架下和标准辛结构下有限维可积系统的关系:标准辛结构下有限维可积系统是Lie-Poisson框架下有限维可积系统几种不同的辛实现形式.II.通过位势与特征函数之间不同的约束形式分别产生Neumann系统,Bargmann系统(两者皆是显式约束),高阶约束流系统(隐式约束)这几种有限维可积系统,我们将在Lie-Poisson框架下研究这些在不同约束形式下产生的有限维可积系统之间的关系.在Lie-Poisson结构下,一个孤子方程对应的只有一种约束Hamilton系统,这个系统就是Bargmann约束产生的Hamilton系统,其它形式的约束系统是Bargmann约束系统不同维数的体现.本文分别以与非线性Schr¨odinger方程以及与Boussinesq方程族相关的Lie-Poisson Hamilton系统为例进行阐述.III.Boussinesq方程是一个著名的与3×3矩阵谱问题相联系的孤子方程,本文建立了两个与Boussinesq方程相联系的Lie-Poisson Hamilton系统.并在Casimir函数的公共水平集上构造可分离变量,利用Hmailton-Jacobi理论引入作用-角变量,从而得到Lie-Poisson Hamilton系统以及与Boussinesq方程相关的Jacobi反演问题.IV.从与Lie代数gl(3)相关的3×3 Lax矩阵出发,讨论它对应的Gaudin模型,以及这些Gaudin模型对解三波方程,耦合非线性Schr¨odinger方程的应用.进一步考虑在Lie代数gl(3)的子代数su(3),su(1,2)上对应的Gaudin模型对解三波方程,耦合非线性Schr¨odinger方程的应用.最后,分别给出与三波方程,耦合非线性Schr¨odinger方程相关的Jacobi反演问题.
【学位授予单位】：郑州大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175

【参考文献】