结构变分不等式与凸优化问题的若干算法研究

发布时间：2020-07-29 11:57

【摘要】：变分不等式和凸规划问题在数学、管理科学和工程科学的研究过程中起着非常重要的作用,并且这两者具有非常紧密的联系,即凸规划的一阶最优性条件可以被变分不等式刻画。随着学科间的交叉研究增多,这两类问题被广泛用来刻画更多新领域中的问题,例如图像处理、统计学习等。因此,研究如何设计有效的算法快速求解问题就显得十分重要。经过几代学者的共同努力,求解变分不等式和凸规划问题的算法已经比较成熟,并且形成了一些系列,例如投影算法、增广拉格朗日法、内点法、邻近点算法、算子分裂法。这些算法在经济均衡、图像处理、统计学习、矩阵优化等领域得到了广泛应用。目前,随着信息科学的发展,研究具有特殊结构和性质的模型已成为数学规划领域研究的热点之一。这些问题具有大规模、目标函数分离和约束线性等特点,并且广泛的应用于信息传输和数据处理。本文是基于这些特征来设计有效的算法。本文主要研究求解变分不等式投影方法和求解线性约束分离优化问题的算子分裂法。全文分为七章,具体内容如下:第一章,首先介绍求解变分不等式问题的投影算法的研究现状。然后介绍了求解包含多态和凸优化问题的邻近点算法和算子分类法的研究概况。最后,简要阐述本文的研究动机和主要工作。第二章,介绍了本文算法分析中所涉及的一些符号、定义、概念和性质,以及评价算法好坏的标准。第三章,研究求解一类结构变分不等式问题的并行方法。以投影方法为主要框架构造并行方法和不精确准则,证明了算法的全局收敛率和遍历意义下的收敛率。最后数值实验展示带新不精确准则的算法是有效的和稳定的,适合求解结构变分不等式。第四章,研究求解具有特殊结构的变分不等式问题的算子分裂法的收敛率。本章是利用变分不等式中映射的单调性,建立算子分裂法的收敛率。第五章,研究求解线性约束分离凸优化问题的并行方法。首先利用问题的分离结构和增广拉格朗日方法,构造出并行算法。最后证明算法的全局收敛性和,同时建立算法的遍历意义下和非遍历意义下算法的收敛率。最后的数值实验表明并行算法是有效的,适合求解线性约束分离凸优化问题。第六章,研究求解线性约束分离凸优化问题的一种Douglas-Rachoford算子分裂法。针对经典的Peaceman-Rachoford和Douglas-Rachoford算子分裂法在求解某类凸优化题时,只有一个子问题没有闭型式的解的情况,利用子问题的结构,提出全分解型的Douglas-Rachoford算子分裂法。然后利用函数的凸性建立了算法的全局收敛性和非遍历意义下收敛率。本章的算法充分利用了问题的分离结构,使得每个迭代子问题都有闭型式的解。最后数值实验表明,算法是有效的和有竞争力的,适合求解分离凸优化问题。第七章,简单总结本文的主要研究内容,并提出了一些准备思考的问题。
【学位授予单位】：重庆大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O224;O178

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