几类发展型偏微分方程解的长时间行为

发布时间：2020-09-29 16:25

　　 自然界和人类社会很多现象都可以用发展型偏微分方程来描述,例如描述流体湍流现象的Navier-Stokes方程,用于研究股票价格变化的Black-Scholes方程等.研究这些发展型偏微分方程不仅能为我们认识和理解各种自然和社会现象提供理论基础,而且也为我们利用和控制这些自然和社会现象的演化提供有效的手段和工具.本博士学位论文研究了几类发展型偏微分方程的长时间行为,主要考虑了几类方程全局吸引子的存在性,解的爆破,随机吸引子的存在性等. 第一章,介绍了本文所研究的几类发展型偏微分方程的演变历史和研究进程,回顾了无穷维动力系统吸引子的基本概念和刻画吸引子的基本方法,并简要说明了解的爆破现象,最后介绍了本文研究的主要内容和文中常用的函数空间以及一些重要的不等式. 第二章,研究了在实轴R上定义的阻尼BBM方程全局吸引子的存在性,得到了全局吸引子在空间H1(R)∩W1,p(R)中的存在性,并且证明全局吸引子在空间H2(R)∩W2,p(R)中的有界性.由于我们考虑的问题定义在全空间上,此时Sobolev紧嵌入定理不成立,我们采用截尾估计的办法证明了阻尼BBM方程的Cauchy问题的解半群是ω-极限紧的,然后我们使用高低频分解等调和分析技巧,证明Cauchy问题的解的低频部分趋向于零,而高频部分则有更高的正则性,最后联合截尾估计和渐近正则性得到阻尼BBM方程的Cauchy问题吸引子的存在性. 第三章,研究了实轴R上分数阶弱耗散KdV方程的Cauchy问题(H2(R),H5(R))全局吸引子的存在性.相比较于经典的KdV方程,本章所研究的方程多出了一个耗散项,但其耗散性又比KdV-Burgers方程弱.因此,解决弱耗散KdV方程的Cauchy问题的全局吸引子的存在性问题要克服几个困难.首先,由于分数阶Laplace算子是非局部算子,故处理耗散项Λ2αu时会带来一定困难；另外,由于方程定义在整个实轴R上,Solobev紧嵌入定理不再成立,必须证明解的渐近紧性而取代通常证明紧性的方法,我们通过建立截尾估计得到解半群在H2(R)中相对紧,得到(H2(R),H2(R))吸引子的存在性,然后借助于ut的Holder连续性得到解半群在H5(R)中的渐近紧性.借助于KdV方程的守恒律,解半群光滑效应和交换子估计,通过迭代得到解H5(R)有界,从而得到(H2(R),H5(R))全局吸引子的存在性,这个结果对于方程来说是最佳的,这是因为解的正则性比外力项高三阶. 第四章,研究了一类广义Camassa.Holm方程Cauchy问题强解的爆破准则,借助于方程的爆破准则,给出该方程的解在有限时刻爆破的一个充分条件,并对爆破时间进行了估计,最后给出该方程Cauchy问题强解全局存在的一个充分条件.与现有文献相比较,我们主要克服了两方面的困难.一是方程中的高阶非线性耗散项ukuxxx,(k+1)uk-1uxuxx和对流项(k+2)ukuk的非线性作用;二是非线性项uk-2(t,x)的符号不确定,而在经典的Camassa-Holm方程(k=1)和lNovikov方程(k=2)中是没有该非线性项uk-2(t,x)的. 第五章,研究了一类具有加性噪声非自治反应扩散方程初边值问题解的长时间行为,建立了H01随机吸引子的存在性准则.针对方程中非线性项的增长阶是任意的,并且不能得到解的更高阶正则性,而方程又是非自治方程,我们通过建立解的一些新的估计来证明初边值问题的解满足C-条件,从而证明相应动力系统是ω-极限紧的,最后得到随机反应扩散方程随机吸引子的存在性.
【学位单位】：华中科技大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2015
【中图分类】：O175
【文章目录】：
摘要
Abstract
1 绪论
    1.1 相关背景知识
    1.2 动力系统
    1.3 本文安排
    1.4 函数空间及相关不等式
2 BBM方程全局吸引子的高阶正则性
    2.1 引言
1（R）n W^1,p（R）中的吸收集'>    2.2 H¹（R）n W^1,p（R）中的吸收集
    2.3 截尾估计
    2.4 渐近正则性估计
    2.5 吸引子的存在性
3 分数阶弱耗散KdV方程的全局吸引子
    3.1 引言
    3.2 交换子估计
    3.3 吸收集的存在性
2（R）,H²（R））全局吸引子'>    3.4 （H²（R）,H²（R））全局吸引子
2（R）,H⁵（R））全局吸引子'>    3.5 （H²（R）,H⁵（R））全局吸引子
4 弱耗散广义Camassa-Holm方程解的爆破
    4.1 引言
    4.2 预备定理
    4.3 解的爆破
5 随机非自治反应扩散方程的随机吸引子
    5.1 引言
    5.2 预备定理
    5.3 耗散性估计
    5.4 吸引子存在性
6 总结和展望
致谢
参考文献
附录1 攻读博士期间发表的论文
附录2 攻读博士学位期间参与的科研项目

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本文编号：2829963