若干生物学和传染病学模型的动力学研究

发布时间：2020-10-22 04:08

　　 种群生态学是一门研究生物种群发展规律的科学.通过建立种群动力学模型,描述种群与环境、种群与种群间相互作用的动力学关系.通过对数学模型的理解、解释以及预测,分析各物种数量的变化,从而达到有效管理和保护生物种群的目的.传染病动力学是根据种群生长的特点、疾病的发生、疾病在种群内部的传播性及发展变化等因素,建立反映传染病动力学特性的数学模型,通过对其数学模型动力学性质的分析,揭示传染病的传播规律,从而为传染病的预防与控制提供理论依据.因此,众多学者通过建立各种形式的种群模型和传染病模型,来研究种群生态学和传染病学的动力学行为.本篇论文中,我们研究了若干生物学和传染病学模型的动力学性质.本篇论文共分为四章.主要研究内容及得到的重要定理如下：第一章主要介绍了捕食-被捕食模型和传染病模型的研究背景及其意义,分数阶微分、随机过程以及Markov切换过程的基本理论.第二章分别研究了分数阶的具有HollingⅠI功能反应的捕食-被捕食模型和分数阶SIR传染病模型.首先考虑分数阶的具有HollingⅡ功能反应的捕食-被捕食模型其中x(t),y(t)分别表示被捕食者和捕食者在t时刻的种群密度.正参数a,b/a,γ,β,e和κ分别表示被捕食者x(t)的固有增长率,承受能力,最大摄入率,半饱和常数,捕食者y(t)的死亡率及转换因子.通过建立这种分数阶微分方程,可以更为准确地描述自然界的复杂性和多尺度性.通过运用修改的黎曼-刘维尔微分理论,我们得到了模型(0.0.1)正解的存在唯一性定理.定理0.0.1对于任意给定的初值(x(0),y(0))∈R+2,系统(0.0.1)存在唯一解(x(t),y(t)),t≥0.为研究模型(0.0.1)在平衡点的稳定性,我们首先证明了分数阶微分方程的李雅普诺夫定理.考虑分数阶微分方程其中x和F(x)均为n维空间中的向量.假设f(0)=0,,(x)是定义在G：|x|H上的连续函数,且局部地满足Lipschitz条件.得到如下定理：利用此定理,讨论了模型(0.0.1)在平衡点的稳定性,得到结论如下：其次考虑分数阶SIR传染病模型这里分别表示易感染者,染病者和恢复者.参数是正常数,其中Λ表示个体进入易感染者的数量；β表示传染率；μ表示死亡率系数；￡表示因病死亡率；γ表示隔离率.基本再生数为为研究模型(0.0.3)解的存在唯一性,首先证明了分数阶微分方程的通解形式.考虑分数阶微分方程：其中A(t)和f(t)均为定义在区间I(?)R1上的函数.定理0.0.4若f(t)(?)0,则是分数阶微分方程(0.0.4)的通解.运用修改的黎曼-刘维尔微分理论及Lyapunov方法,并结合定理0.0.2,研究了模型(0.0.3)解的存在唯一性以及平衡点的稳定性,得到结论如下：定理0.0.5对于任意给定的初值系统(0.0.3)存在唯一的全局正解定理0.0.6如果系统阳(0.0.3)存在无病平衡点E0=(Λ/μ,0,0),那么,系统(0.0.3)在无病平衡点E0处是渐近稳定的.定理0.0.7如果系统(0.0.3)存在地方病平衡点E+,那么,系统阳(0.0.3)在地方病平衡点E*处是渐近稳定的.第三章研究了一类Levy噪声驱动的具有饱和发生率的随机SEIR传染病模型这里考虑到某些疾病在潜伏期也存在传染性,故将种群细分为易感者(S),潜伏者(E),感染者(I)和恢复者(R).其中μs,μE,μI,μR分别表示S,E,I,R的自然死亡率,λ为出生率,β为疾病的感染率,平均潜伏期时间为1/θ,δ为因病死亡率,γ为每单位时间内染病者个体的恢复率,Di(t)--1(i=1,…,4),布朗运动Bi(t)(i=1,…,4)定义在完备的概率空间(Ω,F,P)上,这里{F}t0表示滤流,σi0(i=1,…,4)为Bi(t)(i=1,…,4)的强度.N(dt,dy)表示Possion测度,V(dy)dt为平稳补偿,v定义在可测子集A={y|y|r,r∈[0,∞)}上,且满足v(A)∞.假设对于每个c0,存在L。0,使得在该假设条件下,得到模型(0.0.6)解的存在唯一性定理.定理0.0.8假设条件(H1)(H2)成立.则对于任意给定的初值(S(0),E(0),I(0),R(0))∈R+4,系统(0.0.6)存在唯一的正解(S(t),E(t),I(t),R(t))∈R+4,t≥0,且该解以概率1l位于R+4中.利用李雅普诺夫方法讨论了随机模型(0.0.6)在其对应的确定性模型的无病平衡点和地方病平衡点处的渐近行为,得到如下结论：定理0.0.9假设条件(H1)和(H2)成立.如果R01,且满足:那么,对于任给的初值(S(0),E(0),I(0),R(0))∈R+4,系统(0.0.6)的解(S(t),E(t),I(t),R(t))具有性质：定理0.0.10假设条件(H1)(H2)成立.如果R01,且满足.则对于任给的初值(S(0),E(0),I(0),R(0))∈R+4,系统(0.0.6)的解(S(t),E(t),I(t),R(t))具有性质：第四章研究了一类Levy噪声驱动的混杂随机SIR模型其中S(t),I(t),R(t)分别代表易感染者,染病者和免疫者.参数A,β,μ,ε,γ均为正常数,分别表示内禀生长率,传染率,自然死亡率,因病死亡率和痊愈率.Bi(t)是定义在完备概率空间(Ω,F,P)上的布朗运动,流{Ft}t≥0满足通常条其中,V(dy)dt是平稳补偿,v定义在可测集满足v(dy)∞.为了证明模型(0.0.9)解的存在唯一性,我们对跳扩散系数作如下假设：假设对每一n0,存在Ln0使得得到结论：定理0.0.11假设条件(A1)(A2)成立,对于任意给定的初值(S(0),I(0),R(0))∈R+3,系统(0.0.9)几乎必然存在唯一的全局解当系统(0.0.9)不受Levy噪声影响时,对应的混杂SIR模型的阈值为衡点通过利用Lyapunov函数、伊藤公式并结合Gronwall不等式,讨论了模型(0.0.9)分别在无病平衡点E0和地方病平衡点Er*附近的渐近行为,得到结论如下：定理0.0.12如果Rr01,且满足
【学位单位】：吉林大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2015
【中图分类】：O175
【文章目录】：
中文摘要
Abstract
第一章 绪论
    1.1 研究背景及意义
        1.1.1 捕食-被捕食模型
        1.1.2 传染病模型
    1.2 预备知识
        1.2.1 分数阶微分理论
        1.2.2 随机过程
        1.2.3 Markov切换过程基本理论
第二章 分数阶生物学和传染病学模型
    2.1 分数阶微分方程的李雅普诺夫定理
    2.2 分数阶捕食-被捕食系统
        2.2.1 解的存在唯一性
        2.2.2 平衡点的稳定性
    2.3 分数阶SIR传染病模型
        2.3.1 分数阶微分方程的通解
        2.3.2 解的存在唯一性
        2.3.3 平衡点的稳定性
第三章 Levy噪声驱动的具有饱和发生率的随机SEIR模型
    3.1 引言
    3.2 正解的存在唯一性
    3.3 解的渐近行为
        3.3.1 无病平衡点处的渐近行为
        3.3.2 地方病平衡点处的渐近行为
第四章 Levy噪声驱动的混杂随机SIR模型
    4.1 引言
    4.2 正解的存在唯一性
    4.3 解的渐近行为
        4.3.1 无病平衡点处的渐近行为
        4.3.2 地方病平衡点处的渐近行为
参考文献
作者简介及在学期间所取得的科研成果
后记和致谢


本文编号：2851072