量子行列式及量子Pfaffian

发布时间：2017-04-05 11:11

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【摘要】：量子群是李群和李代数经过形变后得到的一类特殊的Hopf代数。它起源于理论物理,最早是由Drinfeld [6]和.Jimbo[16]分别提出来的。1988年,Faddeev, Reshetikhin和Takhtajan利用R矩阵给出了量子群的另外一种实现方式[7],并说明量子行列式是A(Mat。(n))的中心。随后Hashimoto, Hayashi, Taft和Towber将行列式的很多性质推广到量子行列式[11,37]。1996年,Strickland [36]在研究量子不变理论的时候引入了量子Pfaffian,但是从中我们并不清楚量子Pfaffian和量子行列式之间有什么联系。Ray, Jing[15]和Noumi[32]在量子反对称矩阵上给出量子Pfaffian新的定义。在[15]中,Ray和Jing利用量子代数的表示论证明：通过一些变量替换后量子行列式等于量子Pfaffiano本文主要内容是用量子外代数得到量子行列式和量子Pfaffian之间的关系,并推广到更一般的形式。在第3章,我们用量子外代数研究量子Pfaffian得到了一系列的Plucker关系,并利用Pliicker关系得到定义量子Pfaffian所必须的关系,我们称之为Maya关系。其次我们得到量子行列式和量子Pfaffian之间的关系从而证明任何一个量子行列式都可以表示成量子Pfaffiano在最后一节,我们将Luque-Thibon的结果推广到量子hyper-Pfaffiano一个非常有趣的现象是只有当q为一些特殊的单位根的时,量子行列式可以表示成量子hyper-Pfaffiano行列式是定义在矩阵上的函数,如果将行列式所有的符号改为+1就得到permanent[31]。Permanent和行列式有许多相同的性质,他们都是immanant的特例,分别对应n的两个partition (n)和(1n)。在本文第4章,我们引入一个新的量子群,在上面定义了量子permanent。我们证明了量子permanent和量子行列式相等。并得到行列式相关结论的fermionic形式：任何一个量子permanent都能表示成量子Hafniano在数学和物理中,人们通常将一般的矩阵推广到高维的矩阵。在1843年,Cayley[5]给出了三种hyperdeterminant的定义。本文第5章将要推广Cay ley的第一类hyperdeterminant。我们引入高维的量子矩阵,将Mata(n)推广到高维情形,并对任意m维量子矩阵定义了高维量子行列式。m为偶数时,高维量子行列式是Cayley第一类hyperdeterminant的q形变。此外,我们将量子Pfaffian推广到Matsumoto的高维情形,得到DeRahm复形的量子化。我们利用外代数得到任何一个高维的量子行列式都能表示成量子hyper-Pfaffiano
【关键词】：量子群 Hopf代数 量子行列式 量子Pfaffian 量子permanant 量子Hafnian 量子hyperdeterminant 量子hyper-Pfaffian
【学位授予单位】：华南理工大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O152.5
【目录】：

• Chinese Abstract5-6
• Abstract6-9
• 1 Introduction9-13
• 2 Preliminaries13-17
• 2.1 Algebras and Modules13-14
• 2.2 Coalgebras and Comodules14-15
• 2.3 Bialgebras and Hopf Algebras15-17
• 3 Quantum Determinants and Quantum Pfaffians17-42
• 3.1 Definitions17-21
• 3.2 Laplace expansions and Plucker relations21-27
• 3.3 Quantum Pfaffians27-34
• 3.4 Quantum Analog of Barvinok's hyper-Pfaffians34-42
• 4 Quantum permenants and quantum Hafnians42-49
• 4.1 q-Determinants and q-Permanants42-45
• 4.2 q-Pfaffians and q-Hafnians45-49
• 5 Quantum hyperdeterminants and quantum analog of Matsumoto'shyper-Pfaffians49-68
• 5.1 Quantum hyperdeterminants49-55
• 5.2 Laplace expansions of q-hyperdeterminants and Plucker relations55-59
• 5.3 Coaction of A on (?)59-61
• 5.4 Quantum hyper-Pfaffians and Generalizations61-67
• 5.5 Conclusion and discussion67-68
• Bibliography68-72
• Publications72-73
• Acknowledgements73-74
• Chinese Summary74-82
• 附件82

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1 张健;量子行列式及量子Pfaffian[D];华南理工大学;2015年

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本文编号：287001