分数阶Laplace算子的谱理论及其在微分方程中的应用

发布时间：2017-04-08 02:02

  本文关键词：分数阶Laplace算子的谱理论及其在微分方程中的应用，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：本文主要研究带权函数的分数阶Laplace算子的谱理论,作为分数阶Laplace算子谱理论的应用,我们建立了分数阶Laplacian扰动问题的单侧全局分歧现象并考虑了分数阶非线性问题定号解的存在性.本文具体由以下五部分内容组成：首先介绍了分数阶微分方程的发展现状、本文的主要工作、分数阶Laplace算子的定义、分数阶导数和积分的定义及其一些基本性质.其次运用Ljusternik-Schnirelmann理论研究了分数阶Laplace线性微分算子的特征值和特征函数,尤其证明了第一个特征值λ1是简单和孤立的.为了应用的方便,紧接着考虑了分数阶Laplace算子扰动问题的单侧全局分歧定理.假设扰动函数Q满足一些自然的增长条件,我们得到(λ,,0)是问题的分歧点.并且存在从(λ1,0)分歧出的无界连通分支C,它由两个无界的子连通分支c+和c-组成.基于上面的单侧全局分歧定理,我们又研究了一类非线性分数阶微分方程定号解的存在性.这些谱理论和定号解的存在性结果部分地推广了Servadei等人[Discrete Contin.Dyn.Syst.2013],[J.Math.Anal.Appl.2012]及Fiscella[Topol.Methods Nonlinear Anal.2014]的主要结果.接着研究了带不可微非线性项的分数阶微分方程的单侧全局分歧结构,我们分别讨论了从平凡解线和无穷远处产生的分歧.首先得到了从区间[λ1-d,λ1+d]×{0}分歧出一个无界的连通分支C,它由两条无界的子连通分支c+和c-组成.其次证明了从区间[λ-d,λ1+d]×{+∞}分歧出一个无界的连通分支D,它也由两个无界的子连通分支D+和D-组成,其中λ1是相应线性分数阶Laplace微分算子的主特征值,d,d是正常数.基于该单侧全局区间分歧理论,我们获得了分数阶半线性算子主半特征值的存在性,进一步研究了一类分数阶非线性问题定号解的存在性.这一章的主要结果把带有不可微非线性项的古典椭圆微分方程的单侧全局区间分歧定理推广到分数阶情形,并获得了分数阶半线性特征值问题主半特征值的存在性.这些结果在分数阶情形下是新的.然后运用拓扑度和Rabinowitz全局分歧定理,研究了分数阶两点边值问题正解解集连通分支的全局结构,其中RD0+α表示α∈(1,2]阶Riemann-Liouville分数阶导数,λ0是一实参数.本章的主要结果推广并改进了Bai et al [J. Math. Anal. Appl.2005]的主要结果.最后讨论了分数阶微分包含问题解的存在性,其中0Dx-β和xD1-β分别表示β∈(0,1)阶左和右Riemann-Liouville积分,0p=1-q1并且F：[0,1]×R→R关于第二变元满足局部Lipschitz条件.由于常数p和q仅仅满足p+q=1,所以上述问题没有变分结构.尽管如此,我们运用非光滑临界点理论再结合迭代技巧,获得了上述分数阶微分包含问题解的存在性.本章主要结果推广了p=q=1/2时文Teng et al [Appl. Math. Comput.20131的结果.
【关键词】：分数阶Laplacian 谱理论 定号解 分数阶半线性问题 半特征值 分数阶边值问题 正解 微分包含 存在性
【学位授予单位】：兰州大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O177;O175
【目录】：

• 中文摘要3-5
• Abstract5-10
• 第一章 引言10-36
• 1.1 研究背景及研究意义10-12
• 1.2 本文的主要内容12-25
• 1.2.1 分数阶Laplace线性算子谱理论、单侧全局分歧及相应非线性问题定号解的存在性12-20
• 1.2.2 带不可微扰动项分数阶Laplace问题的单侧全局分歧、半线性分数阶Laplace算子谱理论及相应非线性问题定号解的存在性20-23
• 1.2.3 一类分数阶边值问题正解的存在性23-24
• 1.2.4 一类分数阶微分包含问题的可解性24-25
• 1.3 预备知识和记号25-36
• 1.3.1 分数阶Laplace算子的定义及分数阶Sobolev空间25-30
• 1.3.2 分数阶积分和导数的定义及性质30-31
• 1.3.3 一些基本定义及记号31-36
• 第二章 分数阶Laplace算子谱理论、单侧全局分歧及相应非线性问题定号解的存在性36-58
• 2.1 分数阶Laplace核及基本性质36-37
• 2.2 分数阶Laplace算子的特征值及最小特征值和对应特征函数的性质37-46
• 2.3 分数阶Laplacian扰动问题的单侧全局分歧46-53
• 2.4 分数阶Laplace非线性问题定号解的存在性53-58
• 第三章 带不可微扰动项分数阶Laplace问题的单侧全局分歧、半线性分数阶Laplace算子谱理论及相应非线性问题定号解的存在性58-74
• 3.1 带不可微非线性项的分数阶Laplace问题在平凡解线和无穷远处的分歧58-66
• 3.2 分数阶Laplace半线性算子主半特征值和特征函数的存在性及应用66-70
• 3.3 一类带不可微非线性项的分数阶Laplace问题定号解的存在性70-74
• 第四章 一类分数阶边值问题正解的存在性74-88
• 4.1 预备知识75-79
• 4.2 平凡解线上产生的分歧79-82
• 4.3 无穷远处产生的分歧82-85
• 4.4 正解解集的全局结构85-88
• 第五章 一类分数阶微分包含问题的可解性88-102
• 5.1 预备知识及主要结果88-95
• 5.2 主要结果的证明95-102
• 第六章 结论及展望102-106
• 6.1 主要结论102-103
• 6.2 研究展望103-106
• 参考文献106-116
• 在学期间的研究成果116-118
• 致谢118-119

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本文编号：291804