哈密顿系统和耗散系统的响应解

发布时间：2021-01-06 18:25

　　在本文中,我们研究了两类系统（Hamilton系统和耗散系统）响应解的存在性问题.响应解指的是与系统的驱动有着相同频率的拟周期解.具体来说,我们研究的Hamilton模型是带有拟周期驱动的非适定Boussi-nesq方程:且满足铰链边界条件:其中ω=（1,α）,α为任意的无理数.本文的证明基于修改的Kolmogorov-Arnold-Moser（KAM）定理.我们将在每一步KAM迭代过程中构造一个辛坐标变换,使得所有变换的复合将原系统约化为一个新的系统,而新的系统以零点为平衡点.由于α的任意性,频率ω=（1,α）是超越Diophantine或Brjuno频率的,我们将其称之为Liouvillean频率.此外,本文所考虑的模型是非适定的且Hamilton结构复杂,这使得KAM迭代过程中出现的同调方程与经典的无穷维KAM理论有所不同.本文所得到的结果扩充了已有文献中针对适定方程或者扰动频率是Diophantine的结论.我们所研究的耗散模型是满足强阻尼和拟周期外驱动的常微分方程（简称ODE）.在对非线性项和驱动项做一些正则性假设且对驱动频率ω没有施加任何算术性条件下,我们证明方程的响应解确... 

【文章来源】：山东大学山东省 211工程院校 985工程院校 教育部直属院校

【文章页数】：140 页

【学位级别】：博士

【文章目录】：
中文摘要
英文摘要
符号说明
第一章 引言及主要结果
    1.1 Hamilton系统
        1.1.1 问题的提出及系统的假设
        1.1.2 主要结果
    1.2 耗散系统
        1.2.1 问题的提出及系统的假设
        1.2.2 主要结果
    1.3 文章结构安排
第二章 Hamilton系统及经典的KAM理论
    2.1 辛流形上的基本知识
        2.1.1 基本概念
        2.1.2 典则变换
    2.2 可积Hamilton系统及Birkhoff正规型
        2.2.1 可积Hamilton系统
        2.2.2 Birkhoff正规型
    2.3 近可积Hamilton系统及经典的KAM理论
    2.4 低维环的存在性
        2.4.1 有限维Hamilton系统的低维环
        2.4.2 无穷维Hamilton系统的低维环
第三章 带Liouvillean频率拟周期驱动的非适定Boussinesq方程的响应解
    3.1 预备知识
        3.1.1 连分数
        3.1.2 实解析拟周期函数
        3.1.3 函数空间及范数
        3.1.4 Poisson括号
    3.2 KAM定理的叙述
    3.3 同调方程
        3.3.1 同调方程的导出
        3.3.2 有限维中心方向的同调方程
        3.3.3 无穷维双曲方向的同调方程
第四章 KAM迭代: 定理3.1的证明
    4.1 KAM迭代的动机
    4.2 有限步迭代
        4.2.1 有限步迭代的思想
        4.2.2 一步有限次迭代
        4.2.3 一步KAM迭代的证明
    4.3 无穷步迭代
    4.4 收敛性
    4.5 测度估计
第五章 应用:定理1.1的证明
    5.1 系统的标准化
        5.1.1 方程（1.2）对应的Hamilton结构
        5.1.2 Hamilton结构的标准化
        5.1.3 Hamilton函数的复化
    5.2 定理1.1的证明
第六章 具有任意频率的拟周期驱动的强耗散系统的响应解
    6.1 预备知识
        6.1.1 Banach空间中有限可微函数及不动点定理
        6.1.2 函数空间
    6.2 主要思想
        6.2.1 不动点方程
        6.2.2 小性条件
    6.3 解析情况:定理1.2的证明
        6.3.1 逆算子（?）的有界性估计
        6.3.2 （6.16）式中（?）的界
        6.3.3 解关于ε的解析性
        6.3.4 解的存在性
    6.4 高阶可微情形:定理1.3的证明
        6.4.1 解关于ε的正则性
        6.4.2 解的存在性
    6.5 低阶可微情形: 定理1.4的证明
        6.5.1 复合算子的性质
        6.5.2 解的存在性
参考文献
致谢
攻读博士学位期间发表和完成的论文



本文编号：2961047