求解对流扩散方程的全离散局部间断Galerkin方法

发布时间：2017-04-12 02:12

  本文关键词：求解对流扩散方程的全离散局部间断Galerkin方法，，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：局部间断Galerkin (LDG)方法自提出以来已经被广泛应用于求解对流扩散方程,并在高阶偏微分方程的数值求解方法研究中取得极大成功,然而相比于数值格式的快速发展和应用,理论研究则相对滞后；相关文献中关于全离散LDG方法的理论分析更是凤毛麟角。在实际计算中,求解发展型方程总是要借助于一定的时间离散方法,因此全离散方法的理论分析至关重要。本文我们将以对流扩散方程为主体,着重研究全离散LDG方法的稳定性和误差估计。本文的主要内容有三章：第二章,我们考虑显式Runge-Kutta(RK)全离散LDG方法(简记为EXRK-LDG)求解带Dirichlet边界条件的对流扩散方程。此时有两个主要难点：一是区域边界处的数值流通量设置方式；二是RK方法每个中间时间层在边界处的设置。不适当的设置方法会影响格式的整体精度。本文将利用能量分析方法,建立三阶EXRK-LDG方法的误差估计,进而给出数值流通量的一种经济有效的选取方法和每个中间时间层的边界设置方法。在这样的设置方法下,可以证明,当时间步长τ满足CFL条件cτ/h≤λc和dτ/h2≤λd时,三阶EXRK-LDG格式在时间和空间上都能达到L2模的最优阶收敛。这里c,d分别是对流项和扩散项系数,h是空间网格尺寸,λc和λd是给定的CFL数。如果对流占优,则显格式的时空限制条件为τ=O(h),显式时间离散方法是一个很好的选择。但是对于扩散占优情形,显式时间离散对时间步长的限制为7-=O(h2),这个条件比较苛刻。为此,我们也将研究一类半隐半显式(Implicit-Explicit,简称IMEX)时间离散方法,对于对流项采用显式离散方式,而对于扩散项采用隐式离散方式。这类时间离散方法能克服显式时间离散小时间步长的限制,可以高效求解扩散占优的对流扩散问题,尤其是扩散部分是线性而对流部分是非线性的情形。第三章,考虑RK型的IMEX全离散LDG格式(简记为IMEX-RK-LDG).从一维线性对流扩散方程出发,通过建立数值解的梯度和跳量与梯度的数值解之间的重要关系,以及IMEX-RK-LDG格式满足的能量方程,我们将利用能量分析方法证明,在时间步长满足τ≤τ0的条件下,几个特殊的IMEX-RK-LDG格式是L2稳定的,这里τ0不依赖于空间尺寸h,只与对流项和扩散项系数有关。严格的分析表明,τ0与扩散项系数成正比,与对流项系数的平方成反比。在这个条件下,我们也将证明IMEX-RK-LDG格式具有最优的L2模收敛阶。第四章,以一维和高维非线性对流扩散方程为模型,研究IMEX-RK-LDG方法和多步IMEX全离散LDG方法(简记为IMEX-MS-LDG)的稳定性和误差估计。其中,第一节通过建立与线性情形类似的LDG空间离散性质,并借助于先验误差假设,得到与第三章类似的结果。第二节将利用能量分析方法证明,在时间步长满足τ≤τ0的条件下,几个特殊的IMEX-MS-LDG格式满足能量范数稳定,且具有最优的L2模收敛阶。第三节通过建立高维空间上数值解的梯度和跳量与梯度的数值解之间的重要关系,得到与第三章类似的稳定性结果,同时,借助于间断有限元空间的椭圆投影,给出高维空间上IMEX-RK-LDG方法的最优L2模误差估计。
【关键词】：对流扩散方程 局部间断Galerkin方法 全离散 显式Runge-Kutta 半隐半显式时间离散 能量分析 稳定性 误差估计
【学位授予单位】：南京大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O241.82
【目录】：

• 中文摘要4-6
• 英文摘要6-10
• 第一章 绪论10-24
• 1.1 背景介绍10-18
• 1.1.1 对流扩散方程及其数值研究10-11
• 1.1.2 间断Galerkin方法11-14
• 1.1.3 局部间断Galerkin方法14-16
• 1.1.4 线方法与时间离散16-18
• 1.2 主要研究内容和结构安排18-19
• 1.3 预备知识19-24
• 1.3.1 基本符号19-20
• 1.3.2 有限元空间20-22
• 1.3.3 几个特殊的投影22-23
• 1.3.4 基本不等式23-24
• 第二章 显式RK全离散LDG方法的数值分析24-48
• 2.1 半离散LDG格式24-28
• 2.2 显式RK时间离散方法28-30
• 2.3 Dirichlet边界问题的全离散误差估计30-42
• 2.3.1 全离散LDG格式30-31
• 2.3.2 误差估计31-42
• 2.4 数值试验42-45
• 2.5 本章小结45-48
• 第三章 IMEX-RK全离散LDG方法的数值分析48-68
• 3.1 IMEX-RK时间离散方法49-50
• 3.2 半离散LDG格式50-53
• 3.3 IMEX-RK全离散LDG格式的稳定性分析53-59
• 3.3.1 一阶格式53-54
• 3.3.2 二阶格式54-56
• 3.3.3 三阶格式56-59
• 3.4 IMEX-RK全离散LDG方法的误差估计59-64
• 3.5 数值试验64-66
• 3.6 本章小结66-68
• 第四章 IMEX-LDG格式的推广68-112
• 4.1 非线性问题68-83
• 4.1.1 非线性稳定性分析71-73
• 4.1.2 误差估计73-82
• 4.1.3 数值试验82-83
• 4.2 IMEX-MS全离散LDG方法83-92
• 4.2.1 IMEX-MS时间离散方法84-85
• 4.2.2 IMEX-MS全离散LDG方法的稳定性分析85-88
• 4.2.3 IMEX-MS全离散LDG方法的误差估计88-91
• 4.2.4 数值试验91-92
• 4.3 二维非线性对流扩散方程92-108
• 4.3.1 半离散LDG方法93-99
• 4.3.2 稳定性分析99-100
• 4.3.3 二维椭圆投影100-103
• 4.3.4 误差估计103-107
• 4.3.5 数值试验107-108
• 4.4 本章小结108-112
• 第五章 结论112-115
• 5.1 研究内容112
• 5.2 工作意义112-113
• 5.3 展望113-115
• 参考文献115-125
• 博士在读期间的研究成果125-126
• 致谢126-127

【共引文献】

中国期刊全文数据库 前10条

1 ;Numerical simulations of compressible mixing layers with a discontinuous Galerkin method[J];Acta Mechanica Sinica;2011年03期

2 陈二云;赵改平;戴韧;马大为;;可压缩多介质流动的间断有限元方法[J];爆炸与冲击;2010年04期

3 陈二云;赵改平;杨爱玲;;环形激波聚焦流场特性的数值研究[J];爆炸与冲击;2012年03期

4 张铁;李铮;;解一阶双曲问题间断有限元方法的超收敛性质[J];东北大学学报(自然科学版);2012年01期

5 杨继明;李熙;;非线性反应扩散问题两网格混合有限元法的数值分析[J];湖南工程学院学报(自然科学版);2012年02期

6 ;Unified Analysis of the Hybrid Form of Mixed Finite Elements for Second Order Elliptic Problems[J];工程数学学报;1991年02期

7 张建松;;Sobolev方程的最小二乘混合有限元方法[J];工程数学学报;2009年04期

8 顾海明;HAMILTON-JACOBI-BELLMAN方程的混合元方法[J];高等学校计算数学学报;2001年02期

9 刘洋;李宏;文宗川;;一类二阶线性抛物型方程的扩展混合有限元方法[J];高等学校计算数学学报;2008年03期

10 ;Development and Comparison of Numerical Fluxes for LWDG Methods[J];Numerical Mathematics:Theory,Methods and Applications;2008年04期

中国重要会议论文全文数据库 前10条

1 华冬英;;微分复形与H(div)有限元空间的构造[A];Structure-preserving Algorithms 2003--Proceedings of CCAST(World Laboratory) Workshop[C];2003年

2 R.Hiptmair;;Finite elements in computational electromagnetism[A];Structure-preserving Algorithms 2003--Proceedings of CCAST(World Laboratory) Workshop[C];2003年

3 汪文帅;张怀;李小凡;;间断的Galerkin方法在地震波场数值模拟中的应用概述[A];中国科学院地质与地球物理研究所2013年度（第13届）学术论文汇编——地球深部结构与过程研究室[C];2014年

4 Haiqiang Lan;Zhongjie Zhang;;A High-Order Fast-Sweeping Scheme for Calculating First-Arrival Travel Times with an Irregular Surface[A];中国科学院地质与地球物理研究所2013年度（第13届）学术论文汇编——特提斯研究中心[C];2014年

5 贺茜君;杨顶辉;吴昊;;一种基于ONAD算法和加权Runge-Kutta间断有限元方法的混合算法[A];2014年中国地球科学联合学术年会——专题19：地震波传播与成像论文集[C];2014年

6 钱战森;杨希明;李椿萱;;高超声速钝头体绕流气动热计算的数值格式研究中存在的问题[A];探索 创新 交流——第六届中国航空学会青年科技论坛文集（上册）[C];2014年

7 归明月;范宝春;;旋转爆轰的三维数值模拟[A];第六届全国强动载效应及防护学术会议暨2014年复杂介质/结构的动态力学行为创新研究群体学术研讨会论文集[C];2014年

8 吴晓帅;赵玉新;;低耗散中心-WENO混合格式[A];中国计算力学大会2014暨第三届钱令希计算力学奖颁奖大会论文集[C];2014年

9 王坤;刘铁钢;;基于DG处理边界的有限差分WENO方法[A];中国计算力学大会2014暨第三届钱令希计算力学奖颁奖大会论文集[C];2014年

10 程剑;刘铁钢;;双曲守恒律的多区域耦合DG/WENO格式[A];中国计算力学大会2014暨第三届钱令希计算力学奖颁奖大会论文集[C];2014年

中国博士学位论文全文数据库 前10条

1 刘志平;无陀螺捷联惯导系统若干关键技术研究[D];哈尔滨工程大学;2010年

2 李东方;几类常及抛物型微分方程的数值算法研究[D];华中科技大学;2011年

3 刘洋;非标准混合元方法分析及数值模拟[D];内蒙古大学;2011年

4 汪波;求解时域麦克斯韦方程组的间断伽略金方法[D];湖南师范大学;2011年

5 刘鸣放;三维四阶问题及不可压缩流的有限元分析[D];郑州大学;2011年

6 易年余;基于梯度重构的后验误差估计及自适应有限元方法[D];湘潭大学;2011年

7 郑小洋;积分方程和微分方程的几种基于小波的新型数值解法[D];重庆大学;2011年

8 刘梅林;节点间断伽辽金有限元方法及其在计算电磁学中的应用研究[D];南京航空航天大学;2011年

9 李灿华;平均间断有限元的强超收敛性及其应用[D];湖南师范大学;2011年

10 陈凤欣;油藏数值模拟方法研究及算法设计[D];山东师范大学;2012年

中国硕士学位论文全文数据库 前10条

1 侯鹏;基于双曲型方程RKDG法在流场及声场中的数值模拟研究[D];哈尔滨工程大学;2010年

2 尹燕梅;对称正则长波方程的广义差分法及LDG方法[D];中国海洋大学;2010年

3 张聪聪;二阶椭圆界面问题的混合元方法及其理论分析[D];山东师范大学;2011年

4 牛勤;二维PME方程的LDG方法的数值模拟[D];南京大学;2011年

5 刘旭恒;求解二维反应扩散方程的局部间断有限元分裂算法研究[D];南京大学;2011年

6 赵春霖;一类抛物型积分—微分方程H~1-Galerkin混合有限元方法[D];内蒙古大学;2011年

7 白阿拉坦高娃;一维奇异微分方程的混合有限元方法[D];内蒙古大学;2011年

8 杨芳;局部间断有限元求解带有抛物边界层的奇异摄动方程[D];湖南师范大学;2011年

9 武文娟;一类对流扩散方程的LDG有限元解法[D];新疆大学;2011年

10 张丽娜;空间H（div，Ω）的一个混合有限元逼近及其在一类小周期复合材料中的应用[D];郑州大学;2011年

  本文关键词：求解对流扩散方程的全离散局部间断Galerkin方法，由笔耕文化传播整理发布。

本文编号：300489