二阶正倒向随机微分方程的高精度数值方法及其应用

发布时间：2017-04-15 18:05

本文关键词：二阶正倒向随机微分方程的高精度数值方法及其应用，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：正倒向随机微分方程理论得到了国际学术界广泛的注意和深入研究,不同形式的FBSDE的理论得到迅猛的发展.1990年,Pardoux和Peng [57]首次证明了非线性BSDE解的存在性和唯一性,并首次给出BSDE和抛物型偏微分方程之间的表达关系,推广了Feynman-Kac公式的范畴.至此,关于BSDE理论大量丰富的研究开始涌现,并发展成为随机分析理论中的重要分支.国际上,正倒向随机微分方程理论也随着正向随机微分方程和倒向随机微分方程的的发展得到了广泛深入的理论和应用研究FBSDE的研究结果,在诸多领域得到广泛应用,如金融数学,随机控制,博弈论,偏微分方程理论,风险度量、航空定位、金融决策、期权定价等等.FBSDE与PDE的关系可以使得半线性和拟线性PDE的解有一个非常有意思的概率表示,这推广了关于线性抛物型PDE的Feynman-Kac公式.例如Zhang [87], Bouchard和Touzi [10]等.基于这种思想,可以启发构造求解PDE的概率表示.但是,跟标准FBSDE能够产生关连的PDE的关于二阶导数项不会是非线性的,因为通过It6公式只能产生线性的二阶导数项.Cheridit o, Soner, Touzi和Victor [13]引入一种新的FBSDE,他的生成子f依赖于二次项,作者将其称为二阶BSDE,并指出他们跟全非线性抛物型PDE的关系.这拓宽了随机方程跟偏微分方程有关系的区域.二阶正倒向随机微分方程(2FBSDEs)在诸多产业实际领域中可以发挥重要作用,如资本投资预算、风险度量、航空定位、金融决策、期权定价等.然而大多时候,这类正倒向随机微分几乎不会有解析的显式解,因此,FBSDE和2FBSDE的科学计算方法的研究,对更深入地理解随机微分方程的正倒向运作机理、推动正倒向随机微分方程的计算理论发展,加快拓宽正倒向随机微分方程理论在金融经济科学和自然科学各领域的应用都具有十分重要的理论意义和应用价值.2006年,Zhao,Chen,Peng [89]提出一种求解一般BSDE的全新格式-θ格式.在给定的任意时空剖分,用θ格式求解BSDEs在相应网格点上的值,条件期望采用蒙特卡罗方法来计算.最初的这篇文章只使用数值算例进行了计算,没有对误差进行严格的估计.在2012年,Zhao,Li,Zhang [92]给出了求解一般类型的BSDE的θ格式,并证明了对解(Yt,Zt)都是二阶.2014年,Zhao, ZhangW.,Ju[81]给出基于正交多项式的非耦合FBSDE的多步格式,格式的阶依赖于正向方程离散格式的选择,正向方程用Euler格式时只能达到弱1阶.2014年Zhao,Fu,Zhou [90]提出求解耦合FBSDE的高阶多步格式,我们特别提到这篇文章,作者用数值实验说明格式的高阶收敛性,这是在关于FBSDE的数值格式中,首次出现高阶格式.全非线性PDE的高效求解问题一直是个世界难题,一直以来比较难以构造稳定高效的数值方法,目前关于该方向的研究结果也不多,已有的文献基本主要关注解决高维问题,但收敛精度却并不理想.本论文在国际上首次使用随机的方法,研究全非线性抛物型PDE的数值解法问题,并得到高收敛性结果.本论文主要从二阶正倒向随机微分方程的特性出发,结合确定性科学计算理论,系统研究非耦合二阶正倒向随机微分方程,耦合二阶正倒向随机微分方程的高阶高精度数值解法.本文主要提出两种求解二阶正倒向随机微分方程的高阶高精度方法-多步法(见第3章)和一种全新的延迟矫正法(见第5章)。受启发于全非线性抛物型偏微分方程和二阶正倒向随机微分方程所具有的关系,研究全非线性抛物型偏微分方程的随机高阶解法(见第4章)。我们通过数值模拟分析格式的收敛性情况,并研究所提方法在金融随机控制等方面的应用.多步法的特性是正向方程采用简单的Euler格式,大大降低计算的复杂度,同时倒向方程却依然保持高阶收敛特性.延迟矫正算法(简称DC方法)是一种研究2FBSDE司题的全新格式.这种算法的迷人之处在于,他只需要低阶的数值初始格式,通过迭代,可以加速收敛得到高阶格式.该方法一方面使用低阶单步格式,即减少了计算的复杂度,又降低了求解方程所需的终端信息(只需终端一层即可)；另一方面,DC方法通过不断迭代,加速数值解的收敛速度,得到高阶收敛格式.本论文的主要组织结构如下.第一章,介绍我们所研究的主要问题背景及其发展.第二章,介绍了SDE解的存在惟一性定理,讲述了扩散过程及其生成子的性质,列举了SDE数值常见数值格式,以及二阶FBSDE解的正则性.并介绍了高斯积分公式.第三章,研究二阶正倒向随机微分方程的多步格式.作者对2FBSDE展开了研究.并在合理的条件下,提出关于2FBSDE的高阶数值格式.该格式相较于2010年Zhao,Zhang G.,Ju [94],2014年Zhao.Zhang W.,Ju [81]提出的多步格式而言,本章所提格式具有更高阶收敛性,且高阶收敛性不依赖于正向方程离散的格式.在本章,我们首先通过条件数学期望及鞅理论,引出参考方程；对条件期望求导数,利用对导数的多步逼近格式,对条件期望的导数进行离散；用高斯积分公式准确条件期望,对于不能恰好落于网格点中的值,我们用插值算子对已知信息进行插值求得；进而通过数值分析的工具,提出高精度格式,并分析了格式的收敛性。本章创新之处：1.首次获得一种稳定的求解2FBSDE的高阶收敛格式.2.格式中2FBSDE解具有高阶收敛性,可以达到k≤6阶,其高阶性与正向方程是否选择高阶格式无关.3.正向方程选取最简单的Euler格式进行计算,既使得格式形式简单,易于实现,大大降低计算的复杂度,同时又不会影响我们所关心的2FBSDE解的高阶收敛性.4.对求解耦合与非耦合的2FBSDE进行算法实现,并应用到大量算例中.验证格式的收敛性.本章内容来自于：Tao Kong, Weidong Zhao and Tao Zhou, High-Order Multistep Schemes for Solving Second-Order Forward Backward Stochastic Differential Equations, SI AM on Control and Optimization. arXiv:1502.03206 已投稿第四章,主要研究抛物型二阶全非线性PDE的高阶随机算法.学术界对PDE的随机表示及其随机算法,一直以来都兴趣十足.然而全非线性PDE提出高效数值解法一直以来都因为其非线性的特性而困难重重,已有文献对全非线性PDE的研究主要处理PDE的高维问题,对收敛阶却一直都没有较满意的结果.本章在第三章的启发下,尝试通过随机的方法解决这个难题,得到处理非线性PDE的高阶随机格式.本章创新之处：1.首次用随机微分方程的思想,提出解决全非线性PDE的随机数值格式.2.我们提出的格式,在处理抛物型全非线性PDE时,具有高阶收敛性,可达k≤6阶,这是一个很好的结果.3.对求解抛物型PDE的随机高阶格式进行算法实现,用大量例子验证了展示的格式的高阶特性.该方法可以用来求解HJB方程.本章内容来自于：Tao Kong, Weidong Zhao and Tao Zhou, Probabilistic High Order Numerical Schemes for Fully Nonlinear Parabolic PDEs, Communications in Computational Physics,2015, Vol 18, pp 1482-1503.第五章,在本章,我们提出一种求解二阶正倒向随机微分方程的新的数值格式-延迟矫正法(DC格式).延迟矫正格式在ODE领域已经发展多年,在数值和理论上都取得不错的进展.然而,随机方程与确定方程有本质的区别。在本章,我们推广该格式的外延,将其推广到求解2FBSDE的问题,得到具有很好收敛结果的格式.DC方法是一种效率高的优秀算法,利用随机分析理论和科学计算理论,构造关于2FBSDEs的解的插值函数,并据此构建误差函数；依据条件期望和2FBSDE的理论,导出误差函数应该满足的参考方程；利用扩散过程生成子等随机分析工具及科学计算理论,对误差函数的参考方程进行求解.得到关于误差函数的(低阶)格式；结合误差函数和原方程的格式,对原方程的结果延迟矫正,提出求解2FBSDE的高阶收敛DC格式.本章创新之处：1.这是一个新的用于研究二阶FBSDE的高阶格式.2.对方程的初始估计采用低阶Euler格式,使得计算简便可行;但同时通过延迟矫正,加速收敛,提高解的收敛性.3.该方法本身对必须的终端信息要求非常少,只需要终端时刻一层信息即可.这可为其他对终端信息要求较多的方法提供初始值.本章内容来自于Weidong Zhao and Tao Kong, The Deferred Correction Method for 2nd-order FBSDEs with High Accuracy.我们列出本论文中得到的主要结论如下在第三章：首先利用随机分析的工具,基于方程解的适应性,将二阶随机微分方程的求解转化为确定的参考方程ODE.构造一个新的扩散过程X,基于该过程,大大简化计算的复杂度.利用利用随机分析和确定性科学计算的理论,构造出求解2FBSDE的多步法数值格式.本章的最后一节,针对不同类型2FBSDE,全面的验证所提格式,对于k次多步法,具有稳定的k阶收敛(1≤k≤6).相对于文献中存在的格式大多是0.5,1.0,2.0阶的情况,这是一个很振奋的结果.首先考虑下面的非耦合二阶正倒向随机微分方程：考虑如下非耦合2FBSDE给定终端条件YT=g(XT)我们有下面的结论：命题0.1.假设u=u(t,x)满足下述全非线性偏微分方程Lu+f(t,x,u,%絰uσ,%絰(%絰uσ)σ=0, u(T,x)=g(x).令(Xt,Yt,Zt,rt,At)是2FBSDE(3.6)的一组解.则有Yt=u(t,Xt), Zt=(%絰uσ)(t,Xt), rt=(%絰(%絰uσ)σ)(t,Xt), At=(L(%絰uσ))(t,Xt).其中,算子L由(2.6)定义.我们引入新的扩散过程并据此提出求解2FBSDE的半离散格式格式0.1.假设随机变量YN-i和ZN-i,i=0,1,…,k-1已知.当n=N-k,…,0,Xttn,Xn为方程(4.14)的解,按下述方法求解Yn=Yn(Xn),Zn=Zn(Xn),An=An(Xn)以及Γn=rn(Xn)其中Yn+j和Zn+j为Yn+j、Zn+j在空间点xttn+jtn,Xn处的值.之后,我们引入全离散格式,对时空[0,T]×Rm进行整体离散Dh：={Dhnn}n=0,1,…,N,引入数值积分算子En,x[.]和插值算子ⅡD,xn,我们给出求解2FBSDE的全离散格式格式0.2.假设变量YN-i和ZN-i在DhN-i,i=0,1,…,k-1上的值已知,对于n=N-k,…,0,对任意x∈Dhn,通过下式求解Xn,Yn,Zn,An和rn：我们提出求解耦合FBSDE的全离散格式如下：格式0.3.假设随机变量yN-i,ZN-i和ΓN-i在DhN-i,i=0,1,…,k-1,上面的值已知.l是当前迭代次数,yn,l,Zn,l,An,l和Γn,l为第l次迭代的数值解.当n=N-k,…,0,对任意x∈Dnh,如下求解yn,Zn,An和Γn1.由yn+1,Zn+l和Γn+1初始化Yn,0,Zn,0和Γn,0,即Yn,0=Yn+1(x),Zn,0=Zn+1(x),Γn,0=Γn+1(x);2.对l=0,1,…,如下求解Yn,1+1,Zn,1+1,An,1+1 Γn,1+1;3.设定(Yn,Zn,Γn,An)的值为(Yn,1+1,Zn,1+1,An,1+1,Γn,1+1).第四章：全非线性PDE的高效解法一直以来是个世界性难题.我们推导出2FBSDE与全非线性抛物型PDE的关系,在此基础之上,我们构建用于求解抛物型二阶全非线性PDE的随机算法.据我们所知,这是国际上首次从随机微分方程的角度来求解抛物型二阶全非线性PDE.我们将格式应用到不同类别的PDE之上,结果显示对于求解PDE的随机k次多步法格式,有稳定的k次收敛.计算结果非常精确.本章,我们考虑如下形式的抛物型二阶全非线性PDE其中u(.,.):[0,T]×Rm→R,Du(x)和D2u(x)分别代表u关于x的梯度和Hessian阵.我们给出如下随机格式格式0.4.在时,给定{un(x)和Zn(x)=σ(tn,x)%絬n(x). 当n=n-k,…,0,对任意x∈Dhnn,如下求解 un=uun(x) un=Yn, (0.2)其中yn按如下格式求解第五章,我们研究一种新型的二阶正倒向随机微分方程的高阶高精度数值格式—经典延迟矫正算法(简称DC方法).这种算法的迷人之处在于,他只需要低阶的数值初始格式,通过迭代,可以加速收敛得到高阶格式.我们分别对耦合和非耦合2FBSDE提出DC算法.不同类型的方程的数值结果表明,DC算法可以将低阶格式通过迭代延迟矫正加速收敛至高阶。首先对于非耦合2FBSDE,我们给出半离散的DC方法：算法0.1(延迟矫正算法).假设YK,ZK已知.在内剖分τi上求解yn,Zn,rn以及An.1.(初始值.)在时间区间[τi,τi+1]上,对n=K-1,…,0,通过格式(5.32)求解yn[0],Zn[0],rn[0]以及An[0].其中yK[0]和ZK[o]分别由yK和ZK给出.2.(延迟矫正.)由下述规则,迭代矫正数值解Yn,Zn,Γn,AnNc次.1≤2≤ Nc.·误差过程.对n=K-1,…,0通过格式(5.33)求解δYn[l],δZn[l],δΓn[l]和6An[l].其中δyK[l]=0.δZK[l]=0.·通过误差过程的数值结果更新数值解Yn[l],Zn[l],Γn[l] and An[l]3.最后,取Yn=Yn[Nc],Zn=Zn[Nc],Γn=Γn[Nc] 以及An=An[Nc], n=0…,K.对时空[0,T]×Rm进行整体离散Dh:={Dhnn}n=0,1,...N,引入数值积分算子En,x[.]和插值算子ⅡD,xn,我们给出求解2FBSDE的全离散DC算法的描述.算法0.2(全离散延迟矫正法).给定[0,T]上的时间剖分τ(5.2).假设只有终端值YT,ZT已知.每一个时间区间[τi,τi+1]都有内剖分τi(5.3),按下述规则逐区[τi,τi+1]求解yn,Zn,rn以及An.1.(初始估值.)对所有xj∈Dn及n=K-1,...,0按下式在Xn=xj处求yn,Zn,rn以及An其中yK和ZK由上一个时间区间h+1,τi+2]的初始值y0和Z0来设定.对于最有一个时间区间,即为给定的终端值YT和ZT.将Yn,Zn,Γn和An设为Yn[0],Zn[0],Γn[0]和An[0].2.(延迟矫正.)对于第l次迭代矫正,1≤l≤Nc,按下述规则矫正数值解·误差过程.按下述规则求δYn[l],δZn[l],δΓn[l],δAn[l],n=K-1,...,0其中δYK[l]=0,δzK[l]=0.·用新求得的误差过程的数值解更新Yn[l],Zn[l],Γn[l]和An[l]3.最后,设Yn=Yn[Nc],Zn=Zn[Nc],Γn=Γn[Nc]and An=An[Nc].最后,我们提出针对耦合2FBSDE的全离散延迟矫正格式：算法0.3(耦合全离散延迟矫正法).给定[0,T]上的时间剖分τ(5.2).假设只有终端值YT,ZT已知.每一个时间区间[τi,Ti+1]都有内剖分τi(5.3),按下述规则逐区[τi,τi+1]求解Yn,Zn,Γn and An.1.(初始估值.)对所有xj∈Dn及n=K-1,...,0按下式Xn=xj处求Yn,Zn,Γn和An其中YK和zK由上一个时间区间[τi+1,τi+2]的初始值Y0和Z0来设定.对于最有一个时间区间,即为给定的终端值YT和ZT.将Yn,Zn,Γn和An设为Yn[0],Zn[0],Γn[0]和An[0].2.(延迟矫正.)对于第l次迭代矫正,1≤l≤Nc,按下述规则矫正数值解·误差过程.按下述规则求δYn[l],δZn[l],δΓn[l],δAn[l],n=K-1,...,0·用新求得的误差过程的数值解更新Yn[l],Zn[l],Γn[l]和An[l]3.最后,设Yn=Yn[Nc],Zn=Zn[Nc],Γn=Γn[Nc] and An=An[Nc].
【关键词】：二阶正倒向随机微分方程 耦合正倒向随机微分方程 抛物型全非线性二阶偏微分方程 数值格式 高阶收敛
【学位授予单位】：山东大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O241.8
【目录】：