多元样条若干理论与应用研究

发布时间：2017-04-19 19:00

  本文关键词：多元样条若干理论与应用研究，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：函数是数学最基本的研究对象,而连续函数又是其中十分重要的一类。Weierstrass逼近定理保证了闭区间上任意连续函数都可以用多项式来逼近。由于多项式的整体性太强,使得其在实际应用中出现诸多不便,分段光滑多项式一样条函数应运而生。1946年,数学家I. J. Schoenberg系统地建立了一元样条函数的相关理论基础。近几十年来,针对样条函数的研究越来越广泛与深入,许多现实问题已不能用简单的一元样条函数来刻画、描述,于是开展多元样条函数的研究变得十分必要。1975年,王仁宏先生利用函数论与代数几何的方法开创性地建立了任意剖分下多元样条函数的理论框架,提出了光滑余因子协调法。到目前为止,有关多元样条的理论与应用研究已经取得了丰硕的成果。本文对多元样条的某些理论和应用问题进行研究,主要有带T圈的T网格上样条函数空间维数不稳定性问题,三维四方向四面体剖分上的样条空间的局部支集样条函数,平面封闭曲线的符号距离函数逼近问题,平面数据点的样条函数隐式曲线拟合问题,空间散乱数据点的曲面重构研究。本文包含六章内容,具体安排如下： 1.第一章,介绍多元样条基本理论框架及其在数学多个领域的广泛应用,曲线曲面造型的背景知识和主要研究进展。 2.第二章,维数是样条空间研究中的一个基本且困难的问题,研究了带T圈的T网格上样条空间维数的不稳定性问题,修正了带T圈的T网格上样条空间维数公式,并且给出了一些特殊剖分上维数不稳定性的例子。 3.第三章,研究了三维四方向四面体剖分上的样条函数空间,利用光滑余因子方法计算出1-型四面体剖分上样条空间A41(△(1)lmm)的局部支集样条函数,并分析了B样条函数的一些性质。 4.第四章,符号距离函数能够提供有效地距离估计,广泛应用在多种几何处理上,如光滑化和形状重构等。利用二元样条函数来逼近平面简单闭曲线的符号距离函数,给出了一种自适应的利用2-型三角剖分上B样条函数来逼近给定曲线的符号距离函数方法,同时得到了给定曲线的裁剪偏移曲线。 5.第五章,研究对平面散乱数据点的曲线拟合问题,利用二元样条函数进行曲线的隐式重构。对于封闭曲线情形,利用样条函数重构目标曲线的符号距离函数的方法,实现了曲线的隐式重构。对于一般曲线情形,采用分片代数曲线最小二乘拟合,同时对数据点的法向量、切向量及曲线能量进行约束,得到最终的隐式拟合曲线。 6.第六章,考虑三维散乱数据点的曲面重构问题,构造了一类多层非张量积型B样条拟插值算子,并将其应用于空间数据点的曲面重构。该方法具有计算简单、计算量小及能够自适应的加细剖分的优点。
【关键词】：多元样条 样条空间维数 拟插值算子 符号距离函数 散乱数据拟合
【学位授予单位】：大连理工大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O174
【目录】：

• 摘要4-6
• Abstract6-8
• 目录8-11
• CONTENTS11-14
• 插图目录14-16
• 表格目录16-17
• 主要符号表17-18
• 1 绪论18-26
• 1.1 样条函数18-24
• 1.1.1 样条的起源18
• 1.1.2 多元样条18-19
• 1.1.3 光滑余因子方法19-21
• 1.1.4 B网方法21-23
• 1.1.5 多元B样条方法23-24
• 1.2 曲线曲面造型24-25
• 1.3 本文的主要工作25-26
• 2 带有T圈的T网格上样条空间维数26-42
• 2.1 背景介绍26-27
• 2.2 T网格一些相关的定义和记号27-30
• 2.3 维数公式30-33
• 2.3.1 双次数的T网格上样条函数空间维数公式30-32
• 2.3.2 整体次数的T网格上样条函数空间维数公式32-33
• 2.4 样条空间维数的不稳定性33-39
• 2.5 例子39-40
• 2.6 本章小结40-42
• 3 三维1-型四面体剖分上样条空间42-52
• 3.1 背景介绍42
• 3.2 四面体剖分42-44
• 3.3 S_4~1(△_(lmn)~((1)))基函数的计算44-51
• 3.4 S_4~1(△_(lmn)~((1)))B样条性质51
• 3.5 本章小结51-52
• 4 样条函数逼近曲线的符号距离函数52-70
• 4.1 研究背景52-55
• 4.1.1 符号距离函数52-54
• 4.1.2 相关工作54-55
• 4.2 二元2-型三角剖分上样条函数空间简介55-61
• 4.2.1 均匀2-型三角剖分上样条函数空间S_2~1(△_(mn)~((2)))55-57
• 4.2.2 非均匀2-型三角剖分上的样条函数空间S_2~1(△_(mn)~((2)))57-61
• 4.3 符号距离函数的逼近计算61-63
• 4.4 数值算例63-66
• 4.5 本章小结66-70
• 5 基于样条函数的平面散乱点曲线拟合70-80
• 5.1 背景介绍70
• 5.2 曲线重构中的隐式方法和参数方法70-72
• 5.2.1 隐式方法70-71
• 5.2.2 参数方法71-72
• 5.3 带能量距离约束的最小二乘拟合曲线72-75
• 5.3.1 拟合分片代数曲线72-73
• 5.3.2 数据点的代数距离约束73
• 5.3.3 数据点的法向量与切向量73-74
• 5.3.4 数据点的约束74
• 5.3.5 能量约束74-75
• 5.3.6 最终的优化模型75
• 5.4 封闭曲线的样条函数隐式重构75-76
• 5.4.1 平面封闭曲线75
• 5.4.2 简单封闭曲线样条隐式拟合算法75-76
• 5.5 数值实验76-79
• 5.6 本章小结79-80
• 6 基于多层样条拟插值的散乱点曲面重构80-86
• 6.1 背景介绍80-81
• 6.1.1 曲面重构简介80
• 6.1.2 拟插值算子的研究现状80-81
• 6.2 多层样条拟插值散乱数据曲面重构81-82
• 6.3 数值实验82-83
• 6.4 本章小结83-86
• 7 结论与展望86-88
• 结论86
• 展望86-88
• 参考文献88-98
• 攻读博士学位期间科研项目及科研成果98-100
• 致谢100-102
• 作者简介102-104

【参考文献】

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本文编号：316895