张量特征对的估计及相关算法

发布时间：2021-05-15 05:58

　　张量的特征值在自动控制、谱超图理论、量子纠缠、核磁共振成像、高阶Markov链等领域中有着广泛的应用.计算高阶张量的特征对（即特征值和特征向量）等价于求解一个齐次或非齐次非线性方程组的非平凡解.然而,当张量的阶数和维数很大时,计算它的特征值及对应的特征向量往往是比较困难的.因此,研究张量特征对的估计和高性能算法具有十分重要的意义.本论文主要研究了不可约非负张量Z-特征对的估计和计算（弱）对称张量广义特征对和Z-特征对的数值方法.具体内容如下:首先,给出了不可约（弱对称）非负张量的Z-特征向量和Z-谱半径的下界和上界,并且证明了这些界优于文献[Linear Algebra Appl.483:182-199,2015]中给出的界.同时我们也给出了一般张量Z1-特征值的上界.数值例子验证了我们所提出的这些界比现有的界更紧并且是最优的.其次,研究了对称张量Z-特征对的计算问题.我们将计算对称张量的Z-特征对问题等价地转化为求解一个非线性方程组的非零解问题,提出了修正的归一化牛顿方法（MNNM）.在适当的条件下,证明了MNNM方法的局部三次收敛性,极大地改进了文献[SIAM J.Matrix A... 

【文章来源】：兰州大学甘肃省 211工程院校 985工程院校 教育部直属院校

【文章页数】：119 页

【学位级别】：博士

【文章目录】：
摘要
Abstract
第一章 绪论
    1.1 研究背景及意义
    1.2 研究现状
        1.2.1 张量特征值的估计
        1.2.2 张量特征值的迭代算法
    1.3 本文的主要内容
第二章 预备知识
    2.1 张量的基本概念及运算
    2.2 张量特征值的定义及性质
    2.3 非负张量的Perron-Frobenius定理
第三章 不可约非负张量Z-特征对的估计
    3.1 Z-特征向量的估计
    3.2 Z-谱半径的估计
    3.3 一般张量Z_1-特征值的估计
    3.4 Z-特征对的数值比较
    3.5 本章小结
第四章 对称张量Z-特征对的局部三次收敛算法
    4.1 牛顿修正方法(NCM)
    4.2 修正的归一化牛顿方法(MNNM)
    4.3 MNNM方法的收敛性分析
    4.4 数值实验
        4.4.1 计算Z-特征对的数值结果
        4.4.2 计算US-特征对的数值结果
    4.5 本章小结
第五章 弱对称张量广义特征对的谱残差方法
    5.1 谱残差方法(SREIG)
    5.2 SREIG方法的收敛性分析
    5.3 数值实验
        5.3.1 Z-特征对的数值结果
        5.3.2 H-特征对的数值结果
        5.3.3 D-特征对的数值结果
    5.4 本章小结
第六章 对称张量广义特征对的局部二次收敛算法
    6.1 对称张量广义特征对的等价形式
    6.2 归一化牛顿法(NNMEIG)
        6.2.1 NNMEIG方法的描述
        6.2.2 NNMEIG方法的收敛性分析
    6.3 修正的Levenberg-Marquardt方法(MLMEIG)
        6.3.1 MLMEIG方法的描述
        6.3.2 MLMEIG方法的收敛性分析
    6.4 数值实验
        6.4.1 Z-特征对的数值结果
        6.4.2 H-特征对的数值结果
        6.4.3 D-特征对的数值结果
    6.5 本章小结
第七章 总结与展望
    7.1 总结
    7.2 展望及未来工作
参考文献
在学期间的研究成果
致谢



本文编号：3187086