Theta函数与整数分拆中的一些课题

发布时间：2021-06-09 09:45

　　本文研究解析与组合数论中涉及到整数分拆、theta函数以及模形式的一些课题.主要结果如下:通过运用渐近分析的基本理论以及解析数论中的一些基本技术,我们建立了一些与Jacobi theta函数的倒数的Fourier系数以及由Dyson,Andrews及Garvan引进的整数分拆的crank,rank及k-rank统计量相关的一致渐近公式.这些量在整数的分拆理论、代数几何学以及理论物理学中有着重要的作用与意义.主要结果改进了Bringmann、Manschot及Dousse等人在这方面的最新研究工作.其中的一些结果还改进和推广了Bringmann、Dousse及Mertens等人的关于Dyson的整数分拆的crank统计量的渐近性问题的研究的工作.通过运用Hardy–Ramanujan渐近公式以及解析数论中的一些基本技术,建立了一些与Andrews、Rhoades及Zwegers引进的严格成凹形组合方式的rank统计量以及Carlitz引进的二元整数的所有部分稳步减少的分拆的个数相关的一致渐近公式.运用theta函数理论,建立了一个新的Ramanujan型三角恒等式,并证明了Farkas和... 

【文章来源】：华东师范大学上海市 211工程院校 985工程院校 教育部直属院校

【文章页数】：102 页

【学位级别】：博士

【文章目录】：
摘要
Abstract
符号说明
第零章 绪论
    0.1 历史回顾
    0.2 本文章节安排
第一章 课题与结论
    1.1 与theta函数以及整数分拆相关的渐近性
        1.1.1 Theta函数的倒数的Fourier系数的一致渐近性
        1.1.2 整数分拆的rank和crank统计量的一致渐近性
        1.1.3 严格成凹形的组合方式的rank统计量的一致渐近性
        1.1.4 某种受限制的二元分拆的一致渐近性
    1.2 Theta函数理论在模形式理论中的一些运用
        1.2.1 Ramanujan型的三角恒等式
        1.2.2 Farkas和Kra的一个猜想
第二章 与theta 函数以及整数分拆的某些统计量相关的一致渐近性
    2.1 问题的描述与主要结论
    2.2 初步的结果
        2.2.1 f在自变量发生平移时的一致渐近性
        2.2.2 False theta函数的一致渐近性
    2.3 交错和S_f(a,b;X)的一致渐近性
        2.3.1 定理2.1的证明
        2.3.2 定理2.2的证明
    2.4 定理2.3的证明
        2.4.1 系数C_(r,l,s)(g;f)及C_(l,s)(g;f)中的首要项的具体值
        2.4.2 情形(?)
        2.4.3 情形(?)
    2.5 定理2.4的证明
    2.6 定理1.1-1.5的证明
第三章 严格成凹形的组合方式的rank统计量的一致渐近性
    3.1 初步结论
    3.2 本章主要结论的证明
        3.2.1 定理1.6的证明
        3.2.2 定理1.7的证明
第四章 某种受限制的二元分拆的一致渐近性
    4.1 初步结论
        4.1.1 π(m,n)的级数表示
        4.1.2 一些所需要的渐近公式
    4.2 定理1.8以及定理1.9的证明
        4.2.1 定理1.8的证明
        4.2.2 定理1.9的证明
第五章 Theta函数理论的一些运用
    5.1 一些关于theta函数的基本结论
    5.2 和Ramanujan的工作有关的一些结论
        5.2.1 Ramanujan型三角函数恒等式
        5.2.2 和定理1.10相关的模形式恒等式
    5.3 Farkas和Kra的一个猜想的证明
        5.3.1 基本引理
        5.3.2 定理1.11的证明
参考文献
致谢
作者简历



本文编号：3220353