线弹性梯度模型及应用研究

发布时间：2017-04-26 14:13

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【摘要】：当材料或结构的特征尺寸降到微纳米量级时，材料或结构的力学行为将表现出明显的尺度效应，一般认为这种效应的产生根源是由材料或结构的空间离散特性而导致面内变形的约束限制不同造成的。事实上，当材料或结构的特征长度与其内禀长度相当时，其尺度效应将不可忽略。通过引入反映材料或结构特征尺寸的量来表征其尺度效应以更好地描述其力学特性，已成为当今微纳米连续介质力学领域的前沿课题之一。因此，建立材料或结构的尺度效应的连续介质力学理论具有重要的理论和现实意义。基于梯度理论，本文拟围绕梁、Kirchhoff板、Mindlin板和Flügge薄壳展开一系列研究，为该理论模型在实际的工程应用中提供若干有价值的结果。本文主要内容及结论包括： 1)基于应变梯度理论，给出多层欧拉─伯努利梁系统和多层铁木辛柯梁系统的控制方程组。利用半逆法，导出多层欧拉─伯努利梁系统和多层铁木辛柯梁系统的能量泛函和边界条件(经典边界条件和非经典边界条件)。随后，以双层欧拉─伯努利梁系统为例，利用瑞利法(Rayleigh-Ritz method)导出三种典型边界条件下该双层系统的屈曲应力和振动频率的表达式。以单层梁为例，通过与文献对比以验证本文导出结果的有效性。通过与非局部梁理论模型的结果对比，发现当梯度因子给定时，应变梯度模型比非局部模型要“柔”。同时，研究梯度因子、长细比和边界条件对单、双层梁屈曲和振动频率的影响。计算结果表明：层间范德华(vdW)力对紧约束边界条件下的梁振动频率影响较大。 2)在1)的基础上，把一维梁模型扩展到二维板模型。基于梯度本构方程、几何关系和平衡方程，建立梯度Kirchhoff板模型，该模型可以描述实验或分子动力学的结果。同时，对于各向同性材料，利用最小总势能原理导出变分自洽的边界条件，并讨论三种工程应用中常见的边界条件。边界条件的导出对于处理复杂几何尺寸和混合边界问题极其有效。同时，经过适当的处理，该边界条件可退化到一维欧拉─伯努利梁的结果。对于周边简支边界的各向异性矩形板，给出承受均布载荷的三角级数解和自由振动的频率解。计算结果表明：梯度因子l1使板变“软”，而梯度因子l2使板变“硬”；当l1=l2时，退化为经典Kirchhoff板的结果。 3)在2)的基础上，并考虑剪切变形和转动惯性的影响，建立梯度Mindlin板模型。该模型可以描述分子动力学的结果。同时，对于各向同性材料，利用最小总势能原理导出梯度Mindlin板的边界条件。边界条件的导出对于处理复杂几何尺寸和混合边界问题极其有效。同时，经过适当的处理，该边界条件可退化到一维铁木辛柯梁的结果。对于周边简支边界的各向异性矩形板，给出承受均布载荷的三角级数解和自由振动的频率解。计算结果表明：梯度因子l1使板变“软”，而梯度因子l2使板变“硬”，当l1=l2时，退化为经典Mindlin板的结果。这些结论与Kirchhoff板的相同。与此同时，对于中厚度板(长厚比较小时)，考虑剪切变形和转动惯性的Mindlin板的结果比Kirchhoff板的结果更精确，但处理方法更繁琐。 4)利用梯度本构方程、几何关系和平衡方程，给出梯度Kirchhoff圆板的控制方程。同时利用第3章由变分原理导出的边界条件，给出周边固支圆板承受沿径向线性变化的分布力的静位移及振动频率的解析解，研究梯度因子对圆板静态和动态特性的影响。通过改变梯度因子的数值，可以改变梯度圆板的抗弯刚度。因此，导出的梯度圆板的控制方程可以捕捉到实验或数值计算中观测到的材料或结构的尺度效应。研究表明：当梯度因子l1=l2≠0时，圆板的振动频率较经典结果偏大。换言之，本文采用的非经典边界条件是强约束边界。同时发现，梯度因子l2对圆板高阶频率及振动模态的影响显著。导出的理论模型及解析结果对表征材料或结构的尺度效应具有一定的理论指导意义。 5)在3)和4)的基础上，利用梯度本构方程、几何关系和平衡方程，导出梯度Flügge壳的控制方程，并利用该模型研究梯度因子对波在碳纳米管中传播特性的影响。相比于经典的壳模型，本文导出的模型可以较好地预测分子动力学的结果。研究结果表明：与经典壳模型相比，梯度因子对单壁碳纳米管波动特性的影响在波数ka0.2时可以忽略，在波数较大时，影响显著；壳体的截止频率的个数取决于环向波数m的取值；波传播的频率或波速随l2的增大而增大，随l1的增大而减小。
【关键词】：梯度理论 尺度效应 变分原理 非经典边界条件 位移 振动频率
【学位授予单位】：西北工业大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O341
【目录】：

• 摘要3-5
• Abstract5-11
• 1 绪论11-24
• 1.1 引言11-13
• 1.2 国内外研究现状及评述13-22
• 1.2.1 应变梯度理论及应用13-19
• 1.2.2 非局部理论及应用19-22
• 1.3 本文主要研究内容22-24
• 2 基于应变梯度理论的多壁碳纳米管屈曲和振动的变分原理24-43
• 2.1 引言24-25
• 2.2 欧拉─伯努利梁分析25-29
• 2.2.1 控制方程组25-26
• 2.2.2 变分推导和 Hamilton 原理26-27
• 2.2.3 屈曲和振动分析27-28
• 2.2.4 边界条件28-29
• 2.3 铁木辛柯梁分析29-34
• 2.3.1 控制方程组30
• 2.3.2 变分推导和 Hamilton 原理30-31
• 2.3.3 屈曲和振动分析31-33
• 2.3.4 边界条件33-34
• 2.4 屈曲和振动分析34-36
• 2.4.1 屈曲载荷34-35
• 2.4.2 振动频率35-36
• 2.5 数值结果与讨论36-42
• 2.5.1 有效性验证36-38
• 2.5.2 不同边界下屈曲载荷38-39
• 2.5.3 不同边界下振动频率39-42
• 2.6 本章小结42-43
• 3 线弹性梯度 KIRCHHOFF 板的弯曲和振动分析43-62
• 3.1 引言43-44
• 3.2 线弹性梯度 KIRCHHOFF 板模型44-47
• 3.2.1 本构方程和几何关系44-45
• 3.2.2 平衡方程45-46
• 3.2.3 控制方程46-47
• 3.3 梯度 KIRCHHOFF 板的变分原理47-57
• 3.3.1 梯度理论48
• 3.3.2 线弹性梯度理论的变分及边界条件的推导48-54
• 3.3.3 梯度 Kirchhoff 矩形板的弯曲和振动分析54-57
• 3.4 结果与讨论57-60
• 3.4.1 Kirchhoff 板静位移分析57-59
• 3.4.2 Kirchhoff 板振动频率分析59-60
• 3.5 本章小结60-62
• 4 线弹性梯度 MINDLIN 板的弯曲和振动分析62-81
• 4.1 引言62
• 4.2 线弹性梯度 MINDLIN 板的控制方程62-64
• 4.3 梯度 MINDLIN 板的变分原理64-75
• 4.3.1 线弹性梯度理论的变分及边界条件的推导64-72
• 4.3.2 梯度 Mindlin 矩形板的弯曲和振动分析72-75
• 4.4 结果与讨论75-80
• 4.4.1 Mindlin 板静位移分析75-76
• 4.4.2 Mindlin 板振动频率分析76-80
• 4.5 本章小结80-81
• 5 线弹性梯度 KIRCHHOFF 圆板的弯曲和振动分析81-94
• 5.1 引言81
• 5.2 控制方程81-83
• 5.3 静位移分析83-84
• 5.4 频率分析84-87
• 5.4.1 无量化84-85
• 5.4.2 微分方程的通解85-86
• 5.4.3 固支圆板的频率解86-87
• 5.5 结果与讨论87-93
• 5.5.1 圆板静位移分析87-88
• 5.5.2 圆板振动频率分析88-93
• 5.6 本章小结93-94
• 6 梯度因子对圆柱壳波传播特性的影响94-107
• 6.1 引言94-95
• 6.2 梯度壳模型95-100
• 6.2.1 控制方程95-98
• 6.2.2 梯度壳体自由波传播分析98-99
• 6.2.3 截止频率和渐进相速度分析99-100
• 6.3 结果与讨论100-105
• 6.3.1 对比研究100-101
• 6.3.2 频率分析101-104
• 6.3.3 相速度分析104-105
• 6.4 本章小结105-107
• 7 主要工作总结及展望107-110
• 7.1 主要工作及结论107-108
• 7.2 展望108-110
• 参考文献110-133
• 附录133-141
• 致谢141-142
• 攻读博士学位期间发表的学术论文和参加科研情况142-144

【参考文献】

中国博士学位论文全文数据库 前3条

1 辛浩;石墨烯/碳纳米管力学性能的研究[D];华南理工大学;2010年

2 张旭;基于应变梯度塑性理论的微纳米尺度材料力学行为研究[D];华中科技大学;2011年

3 梁颖晶;石墨烯和碳纳米管尺度效应的研究[D];华南理工大学;2012年

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本文编号：328600