三次曲面及超曲面的饱和数问题

发布时间：2017-05-03 15:11

  本文关键词：三次曲面及超曲面的饱和数问题，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：数学中一个重要的研究领域为研究代数簇上的整数点或有理数点分布.对于Fano代数簇,Manin猜想预测了代数簇上有理点的分布情况.给定一个定义在Q上的Fano代数簇x(?)Pn和X上的一个有理点x∈X,我们可以将此有理此有理点x的高度为对于给定的一个Zariski拓扑下的开子集U(?)X,定义Manin猜想为对于给定的满足的Fano代数簇X,存在一个适当的开子集U(?)X,使得对于充分大的参数B,有其中cx0为一个正常数,βx为一个正常数且当X为曲面时取1,ρx表示X的Picard群的阶.同时,对于有大的群作用的代数簇,Bourgain, Gamburd 和 Sarnak [4]发展了仿射筛法来研究代数簇上坐标包含素因子个数少的整数点分布问题.随后,Nevo和Sarnak[55]以及刘和Sarnak[52]分别考虑了齐次空间内与仿射空间中二次曲线上坐标包含素因子个数少的整数点分布问题.给定一个定义在Q上的Fano代数簇X(?)Pn,我们把代数簇上坐标含有素因子个数少的有理点x称作殆素数点.然后我们将文献[4]中的饱和数的概念推广,用来研究代数簇X上的殆素数点分布问题.定义饱和数r(X)为使得满足x∈X并且坐标乘积至多含有r个素因子的点x构成X中一个Zariski拓扑下的稠密子集的最小正整数r.在本学位论文中,我们证明了对于某些三次曲面和超曲面,其饱和数是有限的.在第二章中,我们考虑了Cayley三次曲面X1的饱和数.Cayley三次曲面为P3中的奇异曲面,由方程所给定.将Hardy-Littlewood圆法及泛异面直线理论结合起来,我们证明了Cay-ley三次曲面的饱和数r(X1)满足6应用类似的方法,我们还考虑了其它奇异三次曲面的饱和数问题.令X2cP3为由方程所定义的奇异三次曲面.我们将证明饱和数r(X2)满足在第三章中,我们考虑Fermat三次曲面X3-Fermat三次曲面为在P3中的曲面,由方程定义Fermat三次曲面是一个光滑的三次曲面.利用Euler的参数解形式以及加权筛法,我们证明了r(X3)≤20.接下来我们考虑能否对于一族光滑的三次曲面证明其饱和数有一个一致的上界.Sofos和本文作者考虑了包含两条不相交有理直线的光滑三次曲面的饱和数问题.在第四章中,我们给出关于该族曲面饱和数的结果.设X4为一个包含两条不相交有理直线的光滑三次曲面,则饱和数r(X4)满足应用的主要工具为曲面X4所具有的二次曲线丛结构和加权筛法.更进一步地,我们考虑了某个特定的包含两条不相交有理直线的三次曲面X5,由方程所定义.对于该曲面,我们能够利用Green,Tao和Ziegler的一个结果代替加权筛法来得到一个更小的饱和数.事实上,我们证明了饱和数r(X5)满足r(X5)≤10.在第五章中,我们把三次曲面的饱和数问题推广到三次超曲面上.作为例子,我们选取了Fermat三次三维体.Fermat三次三维体是由方程所定义的光滑三次超曲面.Sofos和本文作者通过对合适的参数解形式利用加权筛法来研究此三维体的饱和数r(X6).我们证明了饱和数r(X6)的上界满足r(X6)≤42.
【关键词】：三次曲面 泛异面直线 圆法 加权筛法 二次曲线丛结构
【学位授予单位】：山东大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O187
【目录】：

• 中文摘要8-11
• 英文摘要11-14
• 符号说明14-15
• 第一章 绪论15-25
• §1.1 Manin猜想15-18
• §1.2 饱和数18-20
• §1.3 主要结果20-25
• 第二章 Cayley三次曲面的饱和数25-37
• §2.1 引言25-27
• §2.2 Hardy-Littlewood圆法27-32
• §2.3 泛异面直线32-34
• §2.4 定理2.1.1的证明34-35
• §2.5 定理2.1.2的证明35-37
• 第三章 Fermat三次曲面的饱和数37-51
• §3.1 引言37-38
• §3.2 预备知识38-41
• §3.3 分布水平41-45
• §3.4 加权筛法45-48
• §3.5 定理3.1.1的证明48-51
• 第四章 含有两条不相交有理直线的光滑三次曲面的饱和数51-65
• §4.1 引言51-52
• §4.2 预备知识52-53
• §4.3 二次曲线丛结构53-57
• §4.4 Green-Tao-Ziegler定理的应用57-59
• §4.5 加权筛法59-62
• §4.6 定理4.1.1和定理4.1.2的证明62-65
• 第五章 Fermat三次三维体的饱和数65-71
• §5.1 引言65-66
• §5.2 参数解66-67
• §5.3 加权筛法67-70
• §5.4 定理5.1.1的证明70-71
• 参考文献71-77
• 致谢77-79
• 读博期间发表和完成的论文79-80
• 附件80

【参考文献】

中国期刊全文数据库 前1条

1 陈景润;ON THE REPRESENTATION OF A LARGER EVEN INTEGER AS THE SUM OF A PRIME AND THE PRODUCT OF AT MOST TWO PRIMES[J];Science in China,Ser.A;1973年02期

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本文编号：343247