两类带Liouville频率强迫方程的响应解

发布时间：2021-11-19 14:03

　　本文研究了两类带拟周期强迫的非线性方程,其强迫的频率是Liouville频率.我们利用KAM迭代的方法构造了方程的响应解,也就是频率与强迫频率相一致的拟周期解.诞生于上世纪五六十年代的KAM理论是研究微分方程拟周期解的一种有效方法.在1954年,A.N.Kolmogorov首次提出可以利用Newton快速迭代法和Diophantine条件来克服“小除数问题”,并且指出非退化可积系统的大多数不变环面在微小的扰动下可以保持下来,其上的运动是频率满足Diophantine条件的拟周期运动.之后,V.I.Arnold和J.K.Moser分别在实解析和有限次可微的情形给出了严格的数学证明.因此,KAM定理是以这三位数学家命名的.之后,W.Craig,C.Wayne,S.Kuksin,J.Poschel 和 J.Bourgain 等数学家将其进一步发展并推广应用到偏微分方程,使得KAM理论成为了一套研究偏微分方程不变环面（拟周期解）的存在性及其线性稳定性问题的强有力工具.KAM理论可以用于研究带有拟周期强迫项的方程的拟周期解.在有界扰动的情形,L.Jiao和Y.Wang在2009年构造了带拟周期强... 

【文章来源】：山东大学山东省 211工程院校 985工程院校 教育部直属院校

【文章页数】：127 页

【学位级别】：博士

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符号说明
第一章 绪论
    §1.1 Hamilton系统
        1.1.1 Hamilton向量场的概念和性质
        1.1.2 典则坐标变换
        1.1.3 可积Hamilton系统
    §1.2 经典的KAM理论简介
    §1.3 低维不变环面的KAM理论
        1.3.1 有限维Hamilton系统的低维不变环面
        1.3.2 无穷维Hamilton系统的KAM环面
        1.3.3 具有Liouville频率的拟周期解
    §1.4 本文研究的主要内容
第二章 带Liouville频率强迫的复Ginzburg-Landau方程的响应解
    §2.1 预备知识
        2.1.1 范数及一些定义和符号
        2.1.2 无理数的连分数展开
    §2.2 一个抽象的KAM定理
    §2.3 同调方程及其解
        2.3.1 推导同调方程
        2.3.2 求解同调方程
    §2.4 定理2.2.1的证明
        2.4.1 有限步的归纳引理
        2.4.2 一步KAM迭代
        2.4.3 KAM过程的迭代引理
        2.4.4 收敛性和测度估计
    §2.5 定理2.0.1的证明
第三章 带高维Liouville频率强迫的调和振子的响应解
    §3.1 预备知识和KAM定理
        3.1.1 预备知识
        3.1.2 有限维KAM定理
    §3.2 定理3.1.1的证明
        3.2.1 证明思路
        3.2.2 迭代序列
        3.2.3 同调方程及其近似解
        3.2.4 迭代引理
        3.2.5 引理3.2.7的证明
        3.2.6 收敛和测度估计
    §3.3 定理3.0.1的证明
    §3.4 附录
第四章 技术引理
参考文献
致谢
读博期间发表和完成的论文
学位论文评阅及答辩情况表



本文编号：3505196