几类反问题的有效数值解法
发布时间：2021-12-22 22:52
反问题在许多领域有着非常广泛的重要应用,例如医学成像、现代工业、气象预报等等.也因此,数值求解反问题引起了广泛关注.在本论文中,我们考虑以下几类反问题:带箱型状态约束的椭圆型最优控制问题;带积分型状态梯度约束和箱型控制约束的椭圆型最优控制问题;图像恢复中的病态的线性反问题.受到一阶算法成功用于求解大规模有限维优化问题的启发,我们试图研究如何利用一些有效的一阶算法并结合这些问题的结构来更有效地求解它们,取得的主要成果如下:1.带箱型状态约束的椭圆型最优控制问题.对于逐点状态约束,相应的拉格朗日乘子是Borel测度函数,这使得最优性条件中的互补性条件无法表示成逐点的形式.Lavrentiev正则化被用来解决这一困难,然后我们用分片线性有限元全离散方法来离散正则化的问题.我们关于正则化和离散化带来的误差给出了误差分析,由此可以看到全离散的误差阶并不比变分离散的误差阶差.为了数值求解离散问题,我们提出了一种异构交替方向乘子法（hADMM）以及一种两阶段策略,它们分别用来得到中等精度和高精度的解.2.带积分型状态梯度约束的椭圆型最优控制问题.我们首先证明了该问题的最优性条件并提出了一种有限元对偶...
【文章来源】：大连理工大学辽宁省 211工程院校 985工程院校 教育部直属院校
【文章页数】：126 页
【学位级别】：博士
【部分图文】：
图２．１例２．１中Ａ?＝￥时的理想状态％．??２＂￣
?几类反问题的有效数值解法???取一个相对大的值即可，所以Ｓ只需要取一个很小的值就可以保证Ｃ（＾＜￡．从这个意义??上说，ｓＨＳＴＡ的收敛性受第一项支配，并且其收敛行为与ＦＩＳＴＡ相似．??作为一个例子，我们在图４．１中画出测试图像‘ｈｓｔ’（有关这一图像的更多细节可参见??第４．４部分中的例４．１）中矩阵Ｐ和Ｐ的奇异值？很容易看到这两个矩阵的奇异值都很快地??下降到０？例如，Ｚ３的第六大奇异值与最大奇异值之比仅为６．４７ｅ－２，Ｐ的第十大奇异值??与最大奇异值之比降低到４．２７ｅ?－?２．这些结构也可以在其他测试示例中观察到．??０?！?＇?＇?＇￣，．?—Ｉ?５，?，?，?，?，￣－?―，??？?ｌ〇ｇ（＾ｉ）［?。乂?１?°??－１０?■?－５?－?－??＜Ｄ?１５?■?〇＞?１０?■?？??１?２０－?５?－１５?－?．??＾?２５?－?－?３?．２０?－?＿??Ｅ?Ｗ??Ｗ?３０－?？?－．Ｓ?－?．??－３５?－?－３０?－?■??‘?？?＼ｉｍ?—＾?－３５?－??＋??ｏ??４５??＇?１???—■－?１?１??－４０??１?１?１?１?１???〇?５０?１?００?１５０?２００?２５０?３００?０?５０?１００?１?５０?２００?２５０?３００??ｉ?（ｉｎｄｅｘ?ｏｆ?ｓｉｎｇｕｌａｒ?ｖａｌｕｅ）?ｉ?（ｉｎｄｅｘ?ｏｆ?ｓｉｎｇｕｌａｒ?ｖａｌｕｅ）??（ａ）尸的奇异值?（ｂ）户的奇异值??图４．１例４．１：测试图像‘ｈｓｔ’中矩阵Ｚ５和户的奇
?几类反问题的有效数值解法???真实图像?模糊噪声图像??ｊｊ＾Ｊ｜ｉ！?Ｑ｜；??ＦＩＳＴＡ得到的图像?ｓＦＩＳＴＡ得到的图像??图４．４例４．１中从函数ＰＲｂｌｕｒｄｅｆｏｃｕｓ提取的‘ｓａｔｅｌｌｉｔｅ’的图像．??Ｆｉｇ．?４．４?Ｆｉｇｕｒｅｓ?ｆｏｒ?‘ｓａｔｅｌｌｉｔｅ’?ｅｘｔｒａｃｔｅｄ?ｆｒｏｍ?ＰＲｂｌｕｒｄｅｆｏｃｕｓ?ｆｏｒ?Ｅｘａｍｐｌｅ?４．１??０．６５??ｓ?１?１?！?１?１??■■■！?－ｉ?■■?＿ｉ?－ｉ?０．３??１?１?１?１?！?１??ｉ?ｉ?ｉ????—－ｓＦＩＳＴＡ?（ｓ＝５）?一?■?ｓＦＩＳＴＡ?（ｓ＝５）??〇６?－＼?——ｓＦＩＳＴＡ?ｓ＝１?■?——ｓＦＩＳＴＡ?（ｓ＝１）??＼?—ＦＩＳＴＡ?＾〇２５?ｌ?—ＦＩＳＴＡ??Ｅ?０．４５?■?－ｇ?０－１５?■?＼?－??Ｉ．．?Ｖ?？?Ｉ?＼??ｉ－?－－－－－－－－－－－－?ｒＡ＾??０３?■?——????０．２５??：?１?１?１?１?１?１?１?１??０??１?１?１?１?１?１?１?１?１???０?５?１０?１５?２０?２５?３０?３５?４０?４５?５０?０?５?１０?１５?２０?２５?３０?３５?４０?４５?５０??ｉｔｅｒａｔｉｏｎ?ｎｕｍｂｅｒ?ｉｔｅｒａｔｉｏｎ?ｎｕｍｂｅｒ??相对误差７７?相对残差ｙ??图４．５例４．１中从函数ＰＲｂｌｕｒｄｅｆｏｃｕｓ提取的‘ｓａｔｅｌｌｉｔｅ’的７７和７关于迭代次数的变化趋势．??Ｆｉｇ．?４．５?ｔ］
【参考文献】：
期刊论文
[1]An FE-Inexact Heterogeneous ADMM for Elliptic Optimal Control Problems with L1-Control Cost[J]. SONG Xiaoliang,YU Bo,WANG Yiyang,ZHANG Xuping. Journal of Systems Science & Complexity. 2018(06)
本文编号：3547257
【文章来源】：大连理工大学辽宁省 211工程院校 985工程院校 教育部直属院校
【文章页数】：126 页
【学位级别】：博士
【部分图文】：
图２．１例２．１中Ａ?＝￥时的理想状态％．??２＂￣
?几类反问题的有效数值解法???取一个相对大的值即可，所以Ｓ只需要取一个很小的值就可以保证Ｃ（＾＜￡．从这个意义??上说，ｓＨＳＴＡ的收敛性受第一项支配，并且其收敛行为与ＦＩＳＴＡ相似．??作为一个例子，我们在图４．１中画出测试图像‘ｈｓｔ’（有关这一图像的更多细节可参见??第４．４部分中的例４．１）中矩阵Ｐ和Ｐ的奇异值？很容易看到这两个矩阵的奇异值都很快地??下降到０？例如，Ｚ３的第六大奇异值与最大奇异值之比仅为６．４７ｅ－２，Ｐ的第十大奇异值??与最大奇异值之比降低到４．２７ｅ?－?２．这些结构也可以在其他测试示例中观察到．??０?！?＇?＇?＇￣，．?—Ｉ?５，?，?，?，?，￣－?―，??？?ｌ〇ｇ（＾ｉ）［?。乂?１?°??－１０?■?－５?－?－??＜Ｄ?１５?■?〇＞?１０?■?？??１?２０－?５?－１５?－?．??＾?２５?－?－?３?．２０?－?＿??Ｅ?Ｗ??Ｗ?３０－?？?－．Ｓ?－?．??－３５?－?－３０?－?■??‘?？?＼ｉｍ?—＾?－３５?－??＋??ｏ??４５??＇?１???—■－?１?１??－４０??１?１?１?１?１???〇?５０?１?００?１５０?２００?２５０?３００?０?５０?１００?１?５０?２００?２５０?３００??ｉ?（ｉｎｄｅｘ?ｏｆ?ｓｉｎｇｕｌａｒ?ｖａｌｕｅ）?ｉ?（ｉｎｄｅｘ?ｏｆ?ｓｉｎｇｕｌａｒ?ｖａｌｕｅ）??（ａ）尸的奇异值?（ｂ）户的奇异值??图４．１例４．１：测试图像‘ｈｓｔ’中矩阵Ｚ５和户的奇
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【参考文献】：
期刊论文
[1]An FE-Inexact Heterogeneous ADMM for Elliptic Optimal Control Problems with L1-Control Cost[J]. SONG Xiaoliang,YU Bo,WANG Yiyang,ZHANG Xuping. Journal of Systems Science & Complexity. 2018(06)
本文编号：3547257
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