几类非线性方程的适定性与行波分支的研究
本文关键词：几类非线性方程的适定性与行波分支的研究，，由笔耕文化传播整理发布。
【摘要】：本论文主要对几类非线性方程的适定性问题和分支现象进行了研究.一方面,我们利用Littlewood-Paley、输运方程理论证明了一个拟线性发展方程和hyperelastic rod方程在Bp,rs空间中的局部适定性问题,并进一步研究了解映射的连续性.另一方面,我们利用微分方程定性理论和动力系统分支方法,获得了Schamel-Korteweg-de Vries方程和一个广义Zakharov-Kuznetsov方程的一些新的行波解和分支现象.本文主要的研究工作如下第一章是绪论,主要介绍了我们所研究对象的背景、研究现状、取得的成果以及本文的主要工作.第二章,我们考虑了如下带有周期初边值条件的拟线性发展方程的适定性问题.(?)tu+∫(u)(?(xu+F(u)=0,x∈T=R/2πZ,l∈R+.在一些条件下,我们证明了该问题在空间Bp,rs(T)是局部适定的.而且,我们还研究了解映射在B2,rs(T)中的一致连续性问题.第三章,我们研究了如下hyperelastic rod方程的周期初边值问题的适定性(?)tu-(?)r(?)x2u+3u(?)xu=γ(2(?)xu(?)x2u+u(?)x3u),x∈T,l∈R-.我们证明了该问题在Besov空间Bp,rs(T)是局部适定的,其中1≤p,r≤+∞,smax{1+1/p,3/2}或p=2,r=1,s=3/2.此外,我们还证明了,当某些Bp,rq-拓扑被赋予时,则此解映射就变成了Holder连续的.进一步,我们证明了解映射在B2,rs(T)中不是一致连续的,其中1≤r≤+∞,s3/2或r=1,s=3/2.第四章,我们研究了Schamel-Korteweg-de Vries方程的非线性波.两种新的非线性波一广义紧波和广义扭波被展示,两种新的分支现象被揭示.第一个现象是扭波可由5种线性波,即钟形孤立波,爆破波,峡谷形孤立波,广义扭波和广义紧波分岔而来；第二现象是周期爆破波可由光滑周期波分岔而来.第五章,我们对一个广义Zakharov-Kuznetsov方程非线性波的分支现象进行了研究.我们揭示了4种分支现象.第一种是低扭波可由对称的孤立波,1爆破波,高扭波和反对称的孤立波分岔而来；第二种是1爆破波可由周期爆破波,对称的孤立波和2爆破波分岔而来;第三种是周期爆破波可由对称周期波分岔而来;第四种是高扭波可由对称周期波分岔而来.
【关键词】：拟线性发展方程 hyperelastic rod方程 适定性 非一致依赖 Besov空间 Schamel-Korteweg-de Vries方程 广义Zakharov-Kuznetsov方程 广义扭波 广义紧波 非线性波 分支现象
【学位授予单位】：华南理工大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175
【目录】：
- 摘要5-6
- Abstract6-11
- 第一章 绪论11-22
- 1.1 非线性孤子方程的简单回顾12-14
- 1.2 求解行波解的方法概述14-15
- 1.3 非线性发展方程的适定性概述15-17
- 1.4 本文的工作17-18
- 1.5 符号说明, 常用函数空间以及不等式18-22
- 第二章 一个拟线性发展方程在Besov空间的周期初边值问题22-38
- 2.1 研究背景和主要结论22-26
- 2.2 预备知识26-27
- 2.3 定理2.1的证明27-34
- 2.3.1 近似解27
- 2.3.2 近似解的一致有界27-29
- 2.3.3 在C([0, T ], Bs?1p,r)中的收敛29-30
- 2.3.4 解的存在性30
- 2.3.5 解的正则性和唯一性30-31
- 2.3.6 解映射的连续性31-34
- 2.3.7 解映射的H¨older连续性34
- 2.4 命题2.1的证明34-38
- 2.4.1 近似解和真实解34-35
- 2.4.2 近似解和真实解差异的估计35-36
- 2.4.3 命题2.1的证明36-38
- 第三章 Hyperelastic rod方程在Besov空间中的周期初边值问题38-50
- 3.1 研究背景和主要结论38-41
- 3.2 预备知识41
- 3.3 局部适定41-46
- 3.3.1 近似解42
- 3.3.2 近似解的一致有界42-43
- 3.3.3 近似解的收敛43-44
- 3.3.4 解的存在性和正则性44-45
- 3.3.5 解的唯一性和解映射的H¨older连续性45-46
- 3.4 非一致连续46-50
- 3.4.1 近似解和真实解46-47
- 3.4.2 近似解和真实解差异的估计47-48
- 3.4.3 定理3.3的证明48-50
- 第四章 Schamel-Korteweg-de Vries方程的新非线性波和分支现象50-70
- 4.1 研究背景和预备知识50-53
- 4.2 两种新的非线性波53-57
- 4.2.1 广义扭波53-55
- 4.2.2 广义紧波55-57
- 4.3 扭波的分支57-67
- 4.3.1 来自于钟形孤立波的分支57-61
- 4.3.2 来自于爆破波的分支61-62
- 4.3.3 来自于峡谷形孤立波的分支62-64
- 4.3.4 来自于广义扭波的分支64-65
- 4.3.5 来自于广义紧波的分支65-67
- 4.4 光滑周期波的分支67-69
- 4.5 结论69-70
- 第五章 广义Zakharov-Kuznetsov方程的非线性波分支现象70-87
- 5.1 研究背景和预备知识70-72
- 5.2 低扭波的分支72-79
- 5.2.1 来自于对称孤立波和1爆破波的分支72-75
- 5.2.2 来自于高扭波和反对称孤立波的分支75-79
- 5.3 1爆破波的分支79-82
- 5.3.1 来自于2爆破波和对称孤立波的分支79-80
- 5.3.2 来自于周期爆破波的分支80-82
- 5.4 周期爆破波的分支82-84
- 5.4.1 来自于周期波的分支82-84
- 5.5 高扭波的分支84-86
- 5.5.1 来自于对称周期波的分支84-86
- 5.6 结论86-87
- 总结与展望87-88
- 参考文献88-100
- 攻读博士学位期间取得的研究成果100-102
- 致谢102-103
- 附件103
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本文关键词：几类非线性方程的适定性与行波分支的研究，由笔耕文化传播整理发布。
本文编号：371275
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