求解一类四阶非线性抛物方程的数值解法

发布时间：2024-02-20 18:09

　　高阶非线性微分方程是一类重要的数学模型,可以刻画很多学科领域中的现象,由于其实用性强,一直备受关注.本文研究了一类具有不同实际背景的四阶非线性抛物方程的数值解法,主要用B样条有限元法对两种四阶项带有变系数的四阶非线性方程进行求解,又分析了其中一种方程的常系数情形的有限体积元法.对前者,四阶项带有变系数的模型的适用性更广,理论分析难度更大.我们对变系数进行一些处理解决所遇到的困难,而这些困难是四阶项系数为常数时所没有的.对后者,充分考虑到有限体积元法的特殊性,构造了相适应的有限体积元格式.首先,本文研究了四阶主项带有变系数的非线性抛物方程的三次B样条有限元法.此前,有研究者分析过该方程的常系数情形的Hermite三次有限元法,我们将四阶项的系数由常数拓展成变系数,使方程的适用范围扩大.三次B样条有限元格式的刚度矩阵的带宽为7,其阶数仅仅是Hermite三次有限元格式的一半.证明半离散解的有界性时,我们采用先积分后放缩的技巧处理四阶主项,解决了难点.借助有界性推导误差估计,L²模的收敛精度是三阶,H²半模达到二阶.关于时间变量的离散,选用了线性化...

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【学位级别】：博士

【部分图文】：

图2.1问题(2.49)的真解的图像.

这里,α(x,t)=1+xt,u0(x)=0.我们将解析解取为u(x,t)=t2(1-cos2πx),用Matlab绘制方程(2.49)真解的图像如图2.1所示.通过数值计算,可以得到方程(2.49)从t=0到t=1之间的数值解,图像如图2.2.

图2.2问题(2.49)的数值解的图像.

表格2.3给出时间步长和空间步长同时变化时的相关数据,误差随着步长的改变而改变.此处,时间步长与空间步长满足一定的比例关系,按?t=h3,我们将(?t,h)分别取为(1/1000,1/10),(1/8000,1/20),(1/64000,1/40),(1/512000,1....

图3.1问题(3.81)的真解的图像.

由于模型中存在关于时间变量和空间变量的变系数α(x,t),因而在构造全离散格式时会出现更多可能性,本文计算了三种不同全离散格式解的误差以及收敛阶.格式1即本章前面讨论的格式,格式2是一种线性化的向后Euler格式,格式3是基于中心差商的格式,但是格式3与格式1对四阶主项的离散形式....

图3.2问题(3.81)的数值解的图像.

在表格3.2中,取定空间步长为h=1/1000.让时间步长发生变化,此时,误差也随之变化.我们发现,在L2和H2模下,全离散格式解的收敛阶都是O((?t)2).在表格3.3中,按?t=h2,我们将时间步长和空间步长(?t,h)分别取作(1/100,1/10),(1/400,1/2....

本文编号：3904372