关于弱阻尼波方程长时间行为的研究

发布时间：2017-06-03 06:10

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【摘要】：在本篇博士论文中,我们考虑了下面的弱阻尼波方程在适当的相空间中的长时间行为其中Ω是R3中的有界光滑区域或R3.本文主要分两部分.在第一部分我们研究了带低正则外源项(g∈H-1)的弱阻尼方程的长时间行为,并分别就区域为有界和全空间两种情况进行了讨论.首先是临界非线性的情形,利用内插不等式我们证明了一个正则性提升引理,并由此得到全局吸引子的存在性以及平移正则性.在非线性项超临界的情形,我们知道弱解没有唯一性结果,为了克服这个困难,我们提出平移正则解的概念,即要求弱解满足额外的平移正则性.利用Strichartz估计,我们得到了平移正则解的适定性.接下来当Ω为有界区域时,我们应用J.M. Ball的能量方法验证半群的渐近紧性,而当Ω=R3时,需要适当增强耗散条件,使得解主要集中在有界部分,根据Aubin-Lions引理,同样可以验证渐近紧性,从而证明全局吸引子的存在性.文章的第二部分关心非线性项不超过五次的波方程强解的问题.同样是利用Strichartz估计,我们克服了强解没有能量不等式的困难,对强解建立了能量估计.然后证明了在(H2(Ω)∩H01(Ω))×H01(Ω)强解半群的全局吸引子以及指数吸引子的存在性.
【关键词】：全局吸引子 波方程 Strichartz估计 正则提升 平移正则解
【学位授予单位】：南京大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175
【目录】：

• 摘要5-6
• Abstract6-10
• 第一章 综述10-22
• 1.1 吸引子存在性问题的研究进展10-14
• 1.2 指数吸引子14-17
• 1.3 耗散性波方程长时间行为问题的研究进展17-19
• 1.4 本文主要工作19-20
• 1.5 文章安排20-22
• 第二章 预备知识22-28
• 2.1 常用不等式22
• 2.2 向量值Banach空间22-23
• 2.3 分数次Sobolev空间23-24
• 2.4 Strichartz估计24-28
• 第三章 有界区域低正则外力项28-44
• 3.1 临界非线性项29-34
• 3.1.1 适定性29-30
• 3.1.2 主要定理证明30-34
• 3.2 超临界非线性项34-44
• 3.2.1 证明渐近紧性的准备工作38-42
• 3.2.2 全局吸引子的存在性42-44
• 第四章 无界区域低正则外力项44-60
• 4.1 临界非线性项45-52
• 4.1.1 适定性和耗散性45-46
• 4.1.2 渐近紧性和全局吸引子的存在性46-49
• 4.1.3 吸引子的平移正则性49-52
• 4.2 超临界非线性项52-60
• 4.2.1 适定性53-56
• 4.2.2 全局吸引子的存在性56-60
• 第五章 次五次强解60-74
• 5.1 适定性61-65
• 5.2 耗散性65-67
• 5.3 渐近光滑性67-68
• 5.4 全局吸引子的存在性68-69
• 5.5 指数吸引子69-74
• 参考文献74-82
• 攻读博士学位期间的学术成果82-84
• 致谢84-85

【共引文献】

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6 李

本文编号：417429