最优控制问题的低阶非协调有限元方法研究

发布时间：2017-07-29 01:22

  本文关键词：最优控制问题的低阶非协调有限元方法研究

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【摘要】：本论文主要研究椭圆型、Stokes型和抛物型等一类偏微分方程最优控制问题的非协调有限元及混合元逼近方法.最优控制问题在许多工程领域中有着广泛应用,比如大气污染控制、温度控制、石油开采、图像处理等领域.由于很多最优控制问题的计算规模十分巨大,对于求解速度的要求很高,所以研究其高精度数值算法就显得尤为重要,实际上,非协调元在大规模并行计算中具有明显优势.而最优控制问题的解一般具有较低的正则性,因此应首选低阶元来逼近相关变量.论文借助低阶非协调元的一些特殊性质,如插值算子与Rieze投影等价,以及相容误差比插值误差高一阶等,通过一系列新的技巧和方法,导出了相关变量的最优误差估计结果或超逼近性质,并在超逼近性质的基础上,采用插值后处理技术得到了整体超收敛的结果.另外,最后两章还分别讨论了界面问题和对流占优扩散问题的非协调有限元方法和特征有限元方法.同时,通过一些数值算例验证其理论分析的正确性.本论文的研究为最优控制问题的数值计算提供了一些新的途径,对于拓宽非协调有限元方法的应用范围有着重要的理论研究意义和应用价值.全文共有如下八章组成:第一章引言,叙述了最优控制问题数值方法的研究现状及背景,并介绍了本文常用的一些记号和相关基本知识,最后给出本文的结构安排.第二章介绍了椭圆型最优控制问题的高精度非协调EQrot限元逼近方法,对状态变量、伴随状态变量及控制变量均得到了超逼近性质,采用插值后处理技术得到了状态变量和伴随状态变量在能量模意义下的整体超收敛结果,给出的数值试验验证了理论分析的正确性,并将该方法推广到了其他一些著名的非协调元情形.该部分内容发表于SCI期刊《Applied Mathematics and Computation》上.第三章研究的是一个椭圆型最优控制问题,由于该问题的目标函数中出现了伴随状态变量,于是构造了一个混合有限元格式,对伴随状态变量采用一对非协调元逼近,对状态变量和控制变量采用分片常数单元逼近,该匹配方式恰好满足混合元所必须的LBB条件,并利用该非协调元的特殊性质得到了最优误差估计结果,给出的数值试验验证了该格式是有效可行的.该部分内容发表于SCI期刊《Computers and Mathematics with Applications》上.第四章针对Stokes最优控制问题,构造了一个非协调EQrot匹配分片常数单元的混合有限元方法,该格式也满足所谓的LBB条件,最后得到了最优误差估计结果.第五章研究的是一个非光滑椭圆最优控制问题的非协调有限元方法,首先进行了该非光滑椭圆问题的非协调有限元误差分析,得到了最优误差估计和整体超收敛结果.由于非光滑问题的解经常不唯一,讨论相关变量数值解与精确解之间的误差估计已经没有意义,于是考虑给出了一种面向目标函数的误差估计,这也说明了有限元数值解与某一精确解确实存在一定的逼近关系.该部分内容已投稿到SCI期刊《Acta Mathematicae Applicatae Sinica》上.第六章研究的是抛物型最优控制问题的非协调有限元方法,对时间变量采用差分离散,对控制变量采用分片常数空间逼近,得到了超逼近和负模估计结果,对状态变量及伴随状态变量采用非协调EQrot逼近,得到了能量模意义下的超逼近和超收敛结果.第七章对椭圆型和抛物型的界面问题,采用最低阶的P1三角形非协调元逼近,利用该单元仅包含一次多项式的性质,克服了界面附近单元误差估计的困难,得到了最优误差估计结果,并给出了两个数值算例验证了理论分析的正确性.该部分内容发表在SCI期刊《Applied Mathematics and Mechanics》上.第八章研究了一个对流占优扩散传输问题的非协调特征有限元方法,采用一种新的误差估计方法,在能量模意义下得到了整体超逼近和超收敛结果,补充和改进了文献[86]和[87]的误差估计结果,最后给出的数值算例也是与理论分析想吻合的.该部分内容发表在SCI期刊《Mathematical Methods in the Applied Sciences》上.
【关键词】：最优控制问题 低阶非协调有限元 最优阶误差估计 超逼近 超收敛
【学位授予单位】：郑州大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O241.82
【目录】：

• 摘要4-6
• Abstract6-11
• 第一章 引言11-29
• §1.1 研究背景11-14
• §1.2 预备知识14-26
• §1.3 主要研究内容及结构安排26-29
• 第二章 椭圆最优控制问题的高精度非协调有限元方法29-43
• §2.1 离散形式和一些引理30-31
• §2.2 控制变量u的超逼近结果31-34
• §2.3 状态变量y和伴随状态变量p的整体超收敛分析34-36
• §2.4 数值试验36-40
• §2.5 结论的推广与应用40-43
• 第三章 椭圆最优控制问题的非协调混合有限元方法43-57
• §3.1 混合离散形式和一些引理44-47
• §3.2 最优误差估计47-52
• §3.3 数值试验52-57
• 第四章 Stokes最优控制问题的高精度非协调混合有限元方法57-65
• §4.1 混合离散形式和一些引理57-60
• §4.2 超逼近和超收敛分析60-65
• 第五章 一个非光滑椭圆最优控制问题的非协调有限元方法65-75
• §5.1 非光滑椭圆问题的非协调有限元分析66-70
• §5.2 面向目标函数的误差分析70-75
• 第六章 抛物型最优控制问题的高精度非协调有限元方法75-87
• §6.1 最优性条件及全离散格式75-77
• §6.2 控制变量u的超逼近结果77-83
• §6.3 状态变量y和伴随状态变量p的整体超收敛分析83-87
• 第七章 界面问题的P1-非协调三角形元逼近87-101
• §7.1 椭圆界面问题及误差估计88-93
• §7.2 抛物界面问题及误差估计93-95
• §7.3 数值试验95-101
• 第八章 对流占优扩散问题的高精度非协调特征有限元方法101-109
• §8.1 特征有限元方法的全离散格式102-103
• §8.2 整体超逼近和超收敛性质分析103-105
• §8.3 数值试验105-109
• 总结与展望109-111
• 参考文献111-121
• 个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果121-123
• 致谢123-12

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本文编号：586908