几类随机偏微分方程与Kolmogorov方程的相关问题研究

发布时间：2017-09-02 02:19

  本文关键词：几类随机偏微分方程与Kolmogorov方程的相关问题研究

  更多相关文章： 随机偏微分方程 Kolmogorov方程 Fokker-Planck方程 随机Burgers方程 Kolmogorov算子 转移半群 不变测度

【摘要】：随着随机偏微分方程理论的不断发展,Kolmogorov方程的应用研究也得到了许多的关注,例如在流体动力学,化学,种群生物学,数学金融学以及分布参数控制系统理论等等领域的研究中它都有着重要的地位.本文主要研究了对应于几类带有乘性噪声的无穷维随机偏微分方程的Kolmogorov方程及其相关的问题.本篇博士论文共分为六章. 第一章介绍随机偏微分方程和Kolmogorov方程的一些相关背景知识和发展现状,并简要叙述本文的主要研究内容. 第二章给出一些本文所用到的知识,包括概率论和随机过程中的基本概念,Markov半群的一些基本知识,无穷维随机分析中的一些重要结果以及其他的一些相关知识. 第三章研究了Kolmogorov方程经典解的存在性.首先考虑具有Dirichlet边界条件的带有乘性噪声的随机反应扩散方程,在方程存在唯一的适度解(mild解)的条件下,进而引出对应的转移半群和Kolmogorov方程.然后利用奇异型的Gronwall不等式得到了方程适度解的正则性估计,结合Galerkin逼近和有限维情形下的结果得到了Kolmogorov方程经典解的存在性.紧接着讨论了转移半群的性质以及不变测度的存在性(和唯一性).推广和改进了部分已有的结果. 第四章研究了Fokker-Planck方程(即Kolmogorov方程的对偶方程)解的存在唯一性.首先考虑可分Hilbert空间上一般的随机偏微分方程,在方程的适度解存在唯一的条件下,给出了其解所对应的转移半群和Kolmogorov算子.通过分析它们的性质,证明了转移半群在适当带权空间中的无穷小生成元和与Kolmogorov算子之间的联系.进而得到了相对应的Fokker-Planck方程解的存在唯一性.其研究方法与已有文献明显不同,所得结果推广了现有的一些研究成果. 第五章考虑[0,l]区间上由柱状Wiener过程驱动的随机Burgers方程.通过利用分解公式对适度解中的随机卷积项在Hilbert空间和内插空间的正则性分析,研究了方程适度解对应的转移半群的不变测度的矩估计,从而得到它在Hilbert空间和内插空间中的有界性.最后证明了Kolmogorov算子的耗散性.这些结果是新的. 第六章给出论文的简要总结以及今后进一步的研究方向的说明.
【关键词】：随机偏微分方程 Kolmogorov方程 Fokker-Planck方程 随机Burgers方程 Kolmogorov算子 转移半群 不变测度
【学位授予单位】：华中科技大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O211.63
【目录】：

• 摘要4-6
• Abstract6-8
• 目录8-10
• 1 绪论10-18
• 1.1 历史背景10-11
• 1.2 研究现状和本文研究内容11-18
• 2 预备知识18-26
• 2.1 概率论和随机过程的预备知识18-19
• 2.2 Markov半群的预备知识19-21
• 2.3 无穷维随机分析的一些重要结果21-22
• 2.4 其他的相关知识22-26
• 3 Kolmogorov方程26-51
• 3.1 引言26-27
• 3.2 预备知识27-31
• 3.3 解的估计31-38
• 3.4 kolmogorov方程解的存在性38-42
• 3.5 不变测度42-45
• 3.6 分部积分公式45-49
• 3.7 补充说明49-51
• 4 Fokker-Planck方程51-77
• 4.1 引言51-53
• 4.2 预备知识53-56
• 4.3 转移半群56-60
• 4.4 生成元的核60-73
• 4.5 Fokker-Planck方程解的存在唯一性73-75
• 4.6 补充说明75-77
• 5 随机Burgers方程的不变测度的矩估计77-97
• 5.1 引言77-78
• 5.2 预备知识78-81
• 5.3 不变测度的矩估计81-89
• 5.4 转移半群与Kolmogorov算子89-96
• 5.5 补充说明96-97
• 6 总结与展望97-100
• 致谢100-102
• 参考文献102-112
• 攻读学位期间发表和完成的论文目录112

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本文编号：775806