反应扩散方程组的渐近行为及其随机扰动

发布时间：2017-09-20 00:41

  本文关键词：反应扩散方程组的渐近行为及其随机扰动

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【摘要】：反应扩散模型已经普遍应用在化学反应,细胞演化过程,药物释放,生态发展,疾病传播,污染物质在环境中的传输等众多领域,不仅为这些领域的科学发展提供了强有力的数学工具,而且推动了偏微分方程理论本身的巨大进步.本博士学位论文以具有实际背景的反应扩散方程组为基本研究对象,从多个方面来刻画反应扩散方程组的渐近性质及其随机扰动特性.论文主要包括以下几个方面的工作. 在第一章中,我们简要介绍了反应扩散方程组的实际背景,数学模型和研究现状. 在第二章中,我们讨论一类竞争扩散方程组连接一个非共存状态和共存状态之间的单调行波解的稳定性.分别基于弱竞争条件和强竞争条件下反应扩散方程组常数定常解的局部线性稳定性特性,我们改变文献中使用二阶线性方程组的格林函数来描述线性化算子的办法,直接利用具有四个变量的一阶线性方程组建立一种新的方法来构造线性化算子的预解算子的渐近表示,然后利用解的对应导数分量的渐近表示来刻画线性化算子在加权函数空间Bω,k(R,R2)中的谱分布,最后得到反应扩散方程组单调行波解的稳定性. 在第三章中,我们考虑一类具有Holling-Tanner型反应函数的交叉扩散捕食-食饵方程组.将现有文献中部分交叉扩散系数情形d3=0,d40推广到完全交叉扩散情形d30, d40.利用极大值原理,先验估计和拓扑度理论等经典方法,在齐次Neumann边界条件下,我们给出了对应定常交叉扩散捕食-食饵方程组的常数和非常数正解存在的充分条件. 在第四章中,我们讨论了一类分数阶反应扩散方程组正温和解的爆破性.分数阶拉普拉斯算子所具有的非局部特征使得分数反应扩散方程已经大量应用于分子生物学,流体动力学,统计物理,经济金融等领域.不同于Perez和Villa等人的方法,我们的重点在于发掘定义于全空间RN上的分数阶热算子(?)t+(-△)β/2基本解的性质,充分利用H.Yosida所建立的基本解的分析性质和L. Caffarelli及A. Figalli给出的基本解的相关估计,我们首先建立初值问题正温和解的下界估计,然后证明解在大时间时的无界性,最后得到正温和解在有限时刻爆破的充分条件. 在第五章中,我们研究了反应扩散波的零均值白噪声扰动行为.对经典Nagumo方程连接两个稳定定常状态的波前解,利用定义于整个实数轴上的热核,我们分析了在两个渐近边界处零均值白噪声的随机扰动行为.由于零均值白噪声的扰动,当t→+∞时,Nagumo方程ut=uxx+u(u-a)(1-u)的波前解在上稳定定常状态处扰动均值是减少的,而在下稳定定常状态处扰动均值是增加的. 在第六章中,我们研究了反应扩散波的非零均值白噪声扰动行为.首先,我们利用热核给出Nagumo方程波前解在两个渐近边界处非零均值白噪声的随机扰动行为.其次,对具有双参变量非零均值白噪声α+βWxt。随机扰动下的波前解的随机性质给出了描述.最后,我们揭示当t→+∞时,零均值白噪声Wxt。和非零均值白噪声α+βWxt对标量Nagumo方程连接两个稳定定常状态的波前解在上(下)稳定状态处的扰动影响是不同的.
【关键词】：反应扩散方程 波前解 分数阶拉普拉斯算子 爆破解 随机扰动 白噪声
【学位授予单位】：华中科技大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175
【目录】：

• 摘要4-6
• Abstract6-10
• 1 绪论10-16
• 1.1 反应扩散方程10-11
• 1.2 分数阶反应扩散方程11-12
• 1.3 随机反应扩散方程12-13
• 1.4 本文的工作安排13-16
• 2 反应扩散方程组行波解的稳定性16-49
• 2.1 反应扩散方程行波解简介16-23
• 2.2 预解算子(λ-L)~(-1)的构造23-35
• 2.3 弱竞争扩散系统行波解的稳定性35-46
• 2.4 强竞争扩散系统行波解的稳定性46-49
• 3 交叉扩散捕食-食饵方程组非常数正解的存在性49-61
• 3.1 交叉扩散与斑图形成模型简介49-50
• 3.2 先验估计50-53
• 3.3 非常数正解的存在性53-61
• 4 分数阶反应扩散方程组正温和解的爆破性61-78
• 4.1 分数阶反应扩散方程引论61-66
• 4.2 分数阶热核的基本性质66-68
• 4.3 正温和解的爆破性68-78
• 5 反应扩散波的零均值白噪声扰动78-88
• 5.1 反应扩散波引论78-82
• 5.2 定常状态处的随机扰动82-84
• 5.3 稳定定常状态处的渐近随机扰动84-86
• 5.4 不稳定定常状态处的渐近随机扰动86-88
• 6 反应扩散波的非零均值白噪声扰动88-100
• 6.1 反应扩散波与高斯随机场88-89
• 6.2 定常状态处的非零均值白噪声扰动89-92
• 6.3 稳定定常状态处的正均值白噪声扰动92-98
• 6.4 稳定定常状态处的负均值白噪声扰动98-100
• 7 总结和展望100-102
• 致谢102-103
• 参考文献103-111
• 附录1 攻读博士学位期间完成的论文111-112
• 附录2 攻读博士学位期间参与的科研项目112

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本文编号：884922