第三节 莱布尼茨的微积分

发布时间：2017-01-12 14:12

  本文关键词：微积分论文，由笔耕文化传播整理发布。

 

 第三节 莱布尼茨的微积分

 

第三节 莱布尼茨的微积分

一、莱布尼茨传略

　　1646年7月1日，莱布尼茨生于德国的莱比锡(Leipzig)．父亲是莱比锡大学的哲学教授，在他六岁时便去世了，留给他的是十分丰富的藏书．

　　1661年，莱布尼茨进入莱比锡大学学习法律，，1663年获学士学位，同年转入耶拿(Jena)大学．

　　他在耶拿大学一边学哲学，一边在魏格尔(E．Weigel)指导下系统学习了欧氏几何．魏格尔使他开始确信毕达哥拉斯—柏拉图宇宙观：宇宙是一个由数学和逻辑原则所统率的和谐的整体．1664年，他获得哲学硕士学位，三年后又获得法学博士学位．二十一岁的莱布尼茨被一位男爵推荐给美因茨(Mainz)选帝侯逊勃伦(VonSchnborn)，从此登上了政治舞台，开始在美因茨宫廷任职．

　　1672年，莱布尼茨作为外交官出使巴黎，结识了许多科学家，包括从荷兰去的惠更斯(C．Huygens，1629—1695)．在惠更斯等人的影响下，他对自然科学特别是数学产生了浓厚的兴趣，真正开始了他的学术生涯．1673年初，他又出使伦敦，结识了胡克(R．Hooke，1635—1703)、波义耳(R．Boyle，1627—1691)等人，3月回到巴黎，4月即被推荐为英国皇家学会的外籍会员．莱布尼茨滞留巴黎的四年时间，是他在数学方面的发明创造的黄金时代．在这期间，他研究了费马、帕斯卡、笛卡儿和巴罗等人的数学著作，写了大约100页的《数学笔记》．这些笔记虽不系统，且没有公开发表，但其中却包含着莱布尼茨的微积分思想、方法和符号，是他发明微积分的标志，他还于1674年发明了能作四则运算的手摇计算机．

　　1676年，莱布尼茨返回德国．在此后的四十年中，他一直担任汉诺威(Hanover)公爵弗里德里希(Johann Friedrich)的枢密顾问和图书馆长，汉诺威成了他的永久居住地．1682年，他与门克(O．Mencke，？—1707)创办了拉丁文杂志《博学学报》(Acta Eruditorum)．1684年，他在该杂志上首次发表了微积分论文《对有理量和无理量都适用的，求极大值和极小值以及切线的新方法，一种值得注意的演算》(Nova Meth－odus Pro Maximis et Minimis，Itemepue Tangeu－tibus，quae nec fractas nec irrationales quantita-tes Moratur，et singulare)(下简称《新方法》)，这是他在微积分方面的代表作．

　　从17世纪九十年代起，莱布尼茨就热心从事于科学院的筹划和建设．1700年，他终于促成柏林科学院成立，并出任第一任院长．同年被选为法国科学院的外籍院士．他还建议成立彼得堡科学院和维也纳科学院，这些建设都被采纳了．他的科学远见和组织才能，有力地推动了欧洲科学的发展．他甚至写信给中国的康熙皇帝，建议成立科学院．

　　除了数学以外，莱布尼茨在哲学、法学、历史学、逻辑学、力学、光学等方面也都做出了卓越贡献．1716年11月14日，莱布尼茨平静地离开人世，享年70岁．

二、《数学笔记》

　　从莱布尼茨的《数学笔记》可以看出，他的微积分思想来源于对和、差可逆性的研究．实际上，这一问题可追溯到他于1666年发表的论文《论组合的艺术》(De Art Combinatoria)．他在这篇文章中对数列问题进行了研究，例如，他给出自然数的平方数列

　　0，1，4，9，16，25，36，… (1)

　　又给出它的一阶差序列

　　1，3，5，7，9，11，… (2)

　　及二阶差序列

　　2，2，2，2，2，… (3)

　　莱布尼茨注意到如下几个事实：自然数列的二阶差消失而平方序列的三阶差消失；如果原数列从0开始，则一阶差的和等于原数列的最后一项；数列(2)中每项是(1)中相邻两项之差而(1)中每项是(2)中左边各项之和．这些事实对他后来发明微积分是有启发的．

　　1673年初，莱布尼茨已经熟悉了费马、巴罗等人的数学著作，他本人对切线问题及求积问题也有了某些研究．他在惠更斯的劝告下，开始攻读帕斯卡的著作．他发现在帕斯卡三角形(见下表)中，任何元素是上面一行左边各项之和，也是下面一行相邻两项之差．他立即同自己在1666年的工作联系起来，洞察到这种和与差之间的互逆性，正和依赖于坐标之差的切线问题及依赖于坐标之和的求积问题的互逆性相一致．所不同的只是，帕斯卡三角形和平方序列中的两元素之差是有限值，而曲线的纵坐标之差则是无穷小量．

　　当然，要把一个数列的求和运算与求差运算的互逆关系同微积分联系起来，必须把数列看作函数的y值，而把任何两项的差看作两个y值的差．莱布尼茨正是这样做的，他用x表示数列的项数而y表示这一项的值，用dx表示数列的相邻项的序数差而用dy表示相邻项的值的差．这时，dx显然为1．借助于数学直观，莱布尼茨把在有限序列表现出来的和与差之间的可逆关系表示成y=∫dg，符号∫表示和．例如，在莱布尼茨的平方序列中，若x＝4，则y＝(9－4)＋(4-1)＋(1-0)．莱布尼茨进一步用dx表示一般函数的相邻自变量的差，用dy表示相邻函数值的差，发者说表示曲线上相邻两点的纵坐标之差．于是，∫dy便表示所有这些差的和．这说明莱布尼茨已经把求和问题与积分联系起来了．

　　图11．18清楚地说明了y=∫dy的几何含义，该图出现在莱布尼茨的1673年笔记中．不过他在当时还未发明dx，dy和∫等符号，图中的l相当于dy，至于dx和∫，他当时写作a和omn(即拉丁文omnia的头三个字母)．在y＝x的条件下，莱布尼茨得到omn．l=y(即∫dy=y)．若以omn．l表示首项为0的序列的一阶差的和，则上式给出序列的最
　
到1675年10月，莱布尼茨已经推导出分部积分公式，即

∫xdy=xy-∫ydx．

　　10月29日的笔记中，他以原来的符号(即omn，l等)记录了这一公式，但他接着便改用符号∫(sum的头一个字母s的变形)代替了omn．他明确指出：“∫意味着和，d意味着差．”11月11日，他开始采用dx表示两个相邻x值的差，用dy表示相邻y值的差，即曲线上相邻两点的纵坐标之差，莱布尼茨称其为“微差”．从此，他一直采用符号∫和dx，dy来表示积分与微分(微差)．由于这些符号十分简明，逐渐流行于世界，沿用至今．

　　莱布尼茨深刻认识到∫同d的互逆关系，他在10—11月的笔记中断言：作为求和过程的积分是微分的逆．这一思想的产生是莱布尼茨创立微积分的标志．实际上，他的微积分理论就是以这个被称为微积分基本定理的重要结论为出发点的．在定积分中，这一定理直接导致了牛顿—莱布尼茨公式(如前所述)的发现．

　　从11月11日的笔记可以看出，莱布尼茨认为dy和dx可以任意小，他在帕斯卡和巴罗工作的基础上构造出一个包含dx，dy的“特征三角形”，借以表述他的微积分理论．

　　如图11．19，P，Q是曲线上相邻两点，PR=dx，QR=dy，所谓特征三角形即由dx，dy和弦PQ组成的无穷小三角形PRQ．莱布尼茨认为，在这个三角形中，弦PQ也是P和Q之间的曲线及过T点的切线的一部分．他进一步认为：三角形PRQ相似于由次切线SU，T点的纵坐标及切线ST组成的三角形SUT．所以dy与dx之比有确定的意义，即：

尼茨利用上述理论解决了一个确定的问题，即寻求次法线与纵坐标成反比的曲线．

　　在图11．19中，法线是TV而次法线是UV，设UV=p，则由三角形PRQ及TUV的相似性得到

　　

　　即 pdx＝ydy． (4)

　　

　　1676年11月左右，莱布尼茨在微积分基本定理的基础上给出一般的分数．从莱布尼茨的笔记可以看出，他和牛顿一样，在微积分中常常采用略去无穷小的方法．例如，为了求出曲线下的面(图11．20)，需要计算曲线下各矩形之和．他说可以忽略剩余的三角形，“因为它们同矩形相比是无穷小……，所以在我的微积分中，我用∫ydx表示面积．”

　　1676—1677年的数学笔记中还提出如下的微积分法则：

　　(1)微分中的变量代换法即链式法则(1676年)；

　　(2)函数的和、差、积、商的微分法则(1677年)，即

　　d(x±y)＝dx±dy，

　　d(xy)＝xdy+ydx，

　　

　　(4)曲线绕x轴旋转而得到的旋转体体积公式

V=π∫y2dx(1677年)．

　　综上所述，莱布尼茨在发现微积分基本定理的基础上，建立起一套相当系统的微分和积分方法．他成为与牛顿同时代的另一个微积分发明者．当然，他们的成果都是独立取得的，当他们开始联系时，已经各自建立起一套具有特色的微积分理论了．

三、《新方法》

　　这是莱布尼茨公开发表的第一篇微积分论文，是对他的微分成果的概括．

　　莱布尼茨在论文中对微分给出如下定义：“横坐标x的微分dx是一个任意量，而纵坐标y的微分dy则可定义为它与dx之比等于纵坐标与次切线之比的那个量．”即

　　用现代标准来衡量，这个定义是相当好的，因为y与次切线之比就是切线的斜率，所以该定义与我们的导数定义一致．不过莱布尼茨没有给出严格的切线定义，他只是说“求切线就是画一条连接曲线上距离为无穷小的两点的直线．”

　　莱布尼茨还给出微分法则d(xn)＝nxn-1dx的证明及函数的和、差、积、商的微分法则的证明．例如，为求d(uv)(其中u，v是x的函数)，先让u变为u＋du，v变为v＋dv，于是

d(uv)＝(u＋du)(v＋dv)-uv．

　　而 (u＋du)(v＋dv)＝uv＋udv＋vdu＋dudv，

　　所以 d(uv)＝udv＋vdu+dudv．

　　莱布尼茨认为dudv对于udv+vdu来说是无穷小，可以舍去，从而得出

d(uv)=udv+vdu．

　　莱布尼茨十分注意微分法的应用，他在文章中讨论了用微分法求切线、求极大值、极小值以及求拐点的方法．他指出，当纵坐标v随x增加而增加时，dv是正的；当v减少时，dv是负的；“当v既不增加也不减少时，就不会出现这两种情况，这时v是平稳的．”所以v取得极大值或极小值的必要条件是dv＝0，这对应于水平切线．他还说明了拐点的必要条件是d(dv)＝0，即二阶微分为0．

　　在文章的末尾，莱布尼茨解决了一个笛卡儿未能解决的问题：求纵坐标为w的曲线，使其次切距为常数a．对于这样的曲线，有

　

　　莱布尼茨考虑x值的一个等差数列，其公差为dx＝b，代入(1)，得

　　

　　显然，w的序列与其差的序列成正比，这正是几何级数特有的性质，所以莱布尼茨断言：如果x值构成算术序列，则w值构成几何序列．换句话说，如果w是一些数，则x是它们的对数．因此，所求的曲线是对数曲线．”

　　莱布尼茨充分认识到微分法的威力，他说：这种方法“可以用来解决一些最困难的、最奇妙的数学问题，如果没有我们的微分学或者类似的方法，这些问题处理起来决不会这样容易．”

　　1686年，莱布尼茨又在《博学学报》上发表了一篇题为“论一种深刻的几何学与不可分元分析”(De Geometria recon－dita et Analysi Indivisibilium atque Infinitorum)的论文，它与《新方法》是姊妹篇，前者以讨论微分为主而本文以讨论积分为主．文中的积分号∫是在出版物中首次出现的．莱布尼茨强调说，不能在∫下忽略乘以dx，因为积分是无穷小矩形ydx之和．他在文中用积分方法导出了摆线方程，即

　　

　　他说：“这个方程完全表示出纵坐标y同横坐标x间的关系，并能由此推出摆线的一切性质．”他还通过积分来计算圆在第一象限的面积，从而得到π的一个十分漂亮的表达式(图11．22)．由分部积分公式

　

　　　

　　　　　　　

　　1686年以后，莱布尼茨继续研究微积分．在求曲线曲率、曲线族包络、判断级数收敛和求解微分方程方面都取得出色成果．

四、莱布尼茨与牛顿

　　在创立微积分方面，莱布尼茨与牛顿功绩相当．他们各自独立地发现了微积分基本定理，并建立起一套有效的微分和积分算法；他们都把微积分作为一种适用于一般函数的普遍方法；都把微积分从几何形式中解脱出来，采用了代数方法和记号，从而扩展了它的应用范围；都把面积、体积及以前作为和来处理的问题归结到反微分(积分)．这样，四个主要问题——速度、切线、极值、求和，便全部归结为微分和积分．

　　

小的矩形之和．

　　但是，如果我们认真比较一下牛顿和莱布尼茨的工作，仍会发现一些明显的不同之处．

　　第一，牛顿微积分的出发点是力学，他以速度为模型建立起最初的微分学；而莱布尼茨的微积分工作则是从研究和、差可逆性开始的．

　　第二，在积分方面，牛顿偏重于不定积分，即由给定的流数来确定流量．他把面积和体积问题当作变化率的反问题来解决．而莱布尼茨则偏重于把积分看作微分的无穷和，他把这种算法叫做“求和计算”．所以，莱布尼茨的积分主要是定积分．

　　第三，尽管牛顿和莱布尼茨的微积分基础都是无穷小量，但他们对无穷小的理解是不同的．莱布尼茨把无穷小理解为离散的，可分为不同层次，因此他给出高阶微分的概念及符号；实际上，他认为一阶微分是横坐标x或纵坐标y的序列的差的序列，二阶微分则是这些差的差所组成的序列．反复取差，便可得到k阶微分dkx或dky．而牛顿则认为无穷小量无层次可言，他把导数定义为增量比的极限．其结果，牛顿的极限概念比莱布尼茨清楚，但却未能进入高阶微分领域．

　　第四，牛顿比莱布尼茨更重视微积分的应用，但对于采用什么样的微积分符号却不大关心．莱布尼茨对于符号却是精心设计，反复改进，尽量选用能反映微积分实质的、既方便又醒目的符号．其结果，牛顿的微积分理论对科学技术的影响要大一些，但他那套以点为特征的微积分至今盛行不衰．

　　第五，两人的学风也不相同．牛顿比较谨慎而莱布尼茨比较大胆；牛顿注重经验而莱布尼茨富于想象．牛顿之所以迟迟不愿发表他的微积分成果，就是担心自己的理论不完善，受到别人反对；而莱布尼茨一旦取得理论上的进展就大胆推广，例如他在n是整数时得到d(xn)＝nxn－1dx后，便宣布n为分数时也适用．在发表自己的著作方面，他也比牛顿大胆．他说：“我不赞成因过分的细密而阻碍了创造的技巧．”这种学风上的差异似与两人的哲学倾向有关——牛顿强调经验而莱布尼茨强调理性．

　　综上所述，牛顿与莱布尼茨应该分享发明微积分的荣誉．但不幸的是在他们生前发表了一场旷日持久的关于微积分发明权的争论．我们知道，莱布尼茨发生第一篇微积分论文的时间是1684年，比牛顿早三年(牛顿的《原理》发表于1687年)，但牛顿早在六十年代就发明了微积分，而莱布尼茨曾于1673年访问过伦敦，并和牛顿及一些知道牛顿工作的人通过信．于是就发生了莱布尼茨是否独立取得微积分成果的问题．牛顿的拥护者们认为只有牛顿才是真正的微积分发明者，公开指责莱布尼茨剽窃牛顿成果．莱布尼茨于1711年为此向英国皇家学会提出申诉(当时他是会员，牛顿是会长)，结果遭到学会的驳斥．这场争论把欧洲数学家分成两派——英国派和大陆派．争论双方停止了学术交流，互相攻击，以致影响了数学的正常发展．直到19世纪初，两派的隔阂才消除．当然，这场争论的性质不纯粹是数学的，其中包含着两派的民族主义情绪，对这方面的问题就不详细讨论了．

　　牛顿和莱布尼茨死后很久，学者们经过认真的调查研究，逐渐取得一致意见：牛顿和莱布尼茨几乎同时发明了微积分，他们的工作也是互相独立的．在创作时间上，牛顿略早于莱布尼茨(牛顿创立微积分的主要时间是1665—1667年，莱布尼茨是1673—1676年)，但在发表时间上，莱布尼茨又略早于牛顿．所以发明微积分的荣誉属于牛顿和莱布尼茨两人．

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本文编号：236840