初中数学小论文范文_数学小论文高一_急!!一篇高中数学小论文(300字)
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急!!一篇高中数学小论文(300字)
我是高一的
想找一篇关于学习数学的论文或感想,不少于300字!!!
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2009-7-27 10:55
正余弦定理若干推论的探究与应用
（一）探究目的
正弦定理和余弦定理是高中数学中重要的三角公式，它们具有广泛的应用。而在教材中对它们的研究却比较单一。在学习上，为了开拓视野，更加体会到数学灵活多变的奥妙，我们有必要结合三角变换的知识对其进行总结、探究及延伸。因此，我们探究了它的一些变式以及应用。
（二）探究过程、应用及结论
（1）正余弦定理
1、正弦定理：a/ sinA＝b/ sinB＝c/ sinC =2R
2、余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bcCosA CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc
b^2=a^2+c^2-2acCosB CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
c^2=a^2+b^2-2abCosC CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
（2）正余弦定理的推论
设三角形ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则
推论1、acosA+bcosB = ccos(A-B)≤C．．．．．．①
bcosB+ccosC = acos(B-C) ≤ a．．．．．．②
acosA+ccosC = bcos(A-C) ≤b．．．．．．③
证明：由正弦定理得，
acosA+bcosB
=2RsinAcosA+2RsinBcosB
=R(2sinAcosA+2sinBcosB)
=R(sin2A+sin2B)
=R{sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]}
=R[sin(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)sin(A-B)+sin(A+B)cos(A-B)-cos
(A+B)sin(A-B)]
=2Rsin(A+B) cos(A-B)
=2Rsin(?-C) cos(A-B)
=2RsinC cos(A-B)
=Ccos(A-B)
又A、B∈（0，?）,-1≤cos(A-B) ≤1
∴ccos(A-B)≤C,当且仅当A=B时取等号.
同理,由三角形三边和三个角的对称性可证②③式.
应用:在⊿ABC中,求证:cosAcosBcosC ≤1/8
证明：①当⊿ABC为钝角三角形或直角三角形时，cosA、cosB、cosC其中必有一个小于等于0，故结论成立.
②若⊿ABC为锐角三角形时,由推论(1)及均值不等式得
a≥bcosB+ccosC≥2倍根号bcosBccosC＞0．．．．．．①
b≥acosA+ccosC≥2倍根号acosAccosC＞0．．．．．．②
C≥acosA+bcosB≥2倍根号acosAbcosB＞0．．．．．．③
①×②×③得abC≥8abCcosAcosBcosC
∴cosAcosBcosC≤1/8
结论：①在三角形中，任意两边与其对角的余弦值的和等于第三边与两
边的对角差的余弦的积，小于或等于第三边。
②三角形三个角的余弦值的积恒小于或等于1/8.
③观察式子，我们可以得出
a、若已知三角形中的两角以及对应两边，可知第三边的取值范围或最小值。
b、若已知三角形中的两角，可知三边之间的数量关系。
推论2、c/(a+b)=sin(C/2)/cos[(A-B)/2] ≥sin(C/2) ．．．．．．①
b/(a+c)=sin(B/2)/cos[(A-C)/2] ≥sin(B/2) ．．．．．．②
a/(b+c)=sin(A/2)/cos[(B-C)/2] ≥sin(A/2) ．．．．．．③
证明：由正弦定理，
c/(a+b)=（2RsinC）/[2R(sinA+sinB)]
=sin(?-c)/(sinA+sinB)
=sin(A+B)/ (sinA+sinB)
=sin[(A+B)/2+(A+B)/2]/{sin[(A+B)/2+(A-B)/2]+
sin[(A+B)/2-(A-B)/2]}
={2sin[(A+B)/2]cos[(A+B)/2]}/{ sin[(A+B)/2]cos[(A- B)/2]+sin[(A-B)/2]cos[(A+B)/2]+sin[(A+B)/2]cos
[(A-B)/2]—sin[(A-B)/2]cos[(A+B)/2]}
={2sin[(A+B)/2]cos[(A+B)/2]}/{2sin[(A+B)/2]cos[(A- B)/2]}
=cos[(A+B)/2]/ cos[(A-B)/2]
=sin[?/2—(A+B)/2]/ cos[(A-B)/2]
=sin(C/2)/cos[(A-B)/2]
又A、B∈（0，?） ∴ 0＜cos[(A-B)/2] ≤1
∴sin(C/2)/ cos[(A-B)/2]≥sin(C/2), 当且仅当A=B时取等号.
同理可证②③式.
应用：已知在⊿ABC中，设a+c=2b，A-C=60度，求sinB.
解：由题设和推论2可知，
b/(a+c)=b/2b=1/2=sin(B/2)/[cos(A-C)/2]=sin(B/2)/cos(?/6)
∴sin(B/2)=（根号3）/4
∴cos(B/2)=根号(1-sin(B/2)^2)= （根号13）/4
∴sinB=2 sin(B/2) cos(B/2)= （根号39）/2
结论：①在三角形中，任意一边与另外两边和的比值，等于该边的
半对角的正弦与另两边的对角差半角的余弦，这是模尔外得公
式的其中一组。
②应用：
a、求解斜三角形未知元素后，可用它验算。
b、若已知三边可求角的最大值。
推论3、a≥2(根号bC)sin(A/2) ．．．．．．①
b≥2(根号aC)sin(B/2) ．．．．．．②
c≥2(根号ab)sin(C/2) ．．．．．．③
证明：∵(b-c)^2≥0 ∴b^2+c^2≥2bc
由余弦定理，a^2= b^2+c^2-2bccosA≥2bc-2bccosA
=2bc(1-cosA)=4bcsin(A/2)^2
∴a≥2(根号bC)sin(A/2), 同理可证②③式.
应用：在⊿ABC中，已知A=?/3，a=10，，求bC的最大值。
解：由题设和推论3可知，10≥2(根号bC)sin(60度/2)
∴（根号bC）≤10 ∴bC≤100
故bC的最大值为100.
结论：①在三角形中，任意一边大于或等于另外两边二次方根的二倍与
该边的半对角正弦的积。
②应用：
a、已知两边和一角可求该角所对边的取值范围或最小值。
b、已知一边以及其对角可求另两边乘积的最大值。
C、已知三边可求角的最大值。
推论4、（a^2- b^2）/ c^2= (sinA^2-sinB^2)/ sinC^2……①
（b^2- c^2）/ a^2= (sinB^2-sinC^2)/ sinA^2……②
（a^2- c^2）/ b^2= (sinA^2-sinC^2)/ sinB^2……③
证明：由正弦定理得，
（a^2- b^2）/ c^2=[4R^2（sinA^2-sinB^2)]/（ 4R^2*sinC^2）
=(sinA^2- sinB^2)/ sinC^2
同理可证②③式.
应用：在⊿ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，证明：
（a^2- b^2）/ c^2=sin（A-B）/sinC
证明：由题设和推论4可知，
（a^2- b^2）/ c^2
=(sinA^2- sinB^2)/ sinC^2
=（sinA+sinB）（sinA-sinB）/sinC^2
={sin[(A+B)/2+(A-B)/2]+sin[(A+B)/2-(A-B)/2]}{sin[(A+B)/2+
(A-B)/2]—sin[(A+B)/2-(A-B)/2]}/{sinCsin[?—（A+B)]}
={2sin[(A+B)/2] cos[(A-B)/2]}{2cos[(A+B)/2]sin[(A-
B)/2]}/[sinCsin(A+B)]
={2sin[(A+B)/2] cos[(A+B)/2]}{2sin[(A—B)/2] cos[(A-
B)/2]}/[sinCsin(A+B)]
=[sin(A+B)sin(A—B)]/ [sin(A+B) sinC]
=sin(A—B)/ sinC
结论：①在三角形中，任意两边的平方差与第三边的平方之比等于
两边对角正弦的平方差与第三边对角的正弦的平方之比。
推论5、sinA^2= sinB^2+sinC^2-2sinBsinCcosA……①
sinB^2= sinA^2+sinC^2-2sinAsinCcosB……②
sinC^2= sinB^2+sinA^2-2sinBsinAcosC……③
证明：由正弦定理和余弦定理得，
（2RsinA）^2=（2RsinB）^2+（2RsinC）^2-2（2RsinA
（2RsinB）cosA
化简得sinA^2= sinB^2+sinC^2-2sinBsinCcosA
同理可证②③式.
应用：求（sin10度）^2+(sin50度)^2+sin10度sin50度的值.
解:构造⊿ABC，使A=10度，B=50度，C=120度，应用推论5得
原式=（sin10度）^2+(sin50度)^2-（-1/2）×2sin10度sin50
度
=（sin10度）^2+(sin50度)^2-2sin10度sin50度cos120度
=（sin120度）^2
=3/4
结论：①在三角形中，任意角正弦的平方等于另外两角正弦的平方
和减去2倍两角正弦与该角余弦的积。
②应用：
a、若已知任意两角角度或正弦，可求另外一角余弦及角度。
b、若式子（sinA）^2+(sinB)^2+sinAsinB满足A+B=?/3，则
其值恒为3/4.
C、若存在形如sinB^2+sinC^2-2sinBsinCcosA的式子，其值为
sinA^2.
推论6、a=bcosC+ccosB……① b=acosC+ccosA……②
c=acosB+bcosA……③
证明：由余弦定理得，
b^2+c^2=(c^2+a^2-2accosB)+(a^2+b^2-2abcosC)
化简得a=bcosC+ccosB
同理可证②③式成立.
应用：已知?、?∈（0，?/2），且3（sin?）^2+2（sin?）^2=1，
3sin2?-2Sin2?=0，求证：?+2?=90度.
证明：∵3（sin?）^2+2（sin?）^2=1
∴3（1-cos2?）/2+2（1- cos2?）/2=1
∴3cos2?+2 cos2?=3
∴2cos2?=3（1- cos2?）＞0
∴3 cos2?=3-2 cos2?＞0 ∴2?、2?∈（0，?/2）
又3sin2?-2Sin2?=0 ∴3/Sin2?=2/sin2?
构造⊿ABC，使A=2?，B=2?,BC=2,则AC=3
由推论6得，AB=ACcos2?+BCcos2?
= 3cos2?+2cos2?=3
∴AB=AC ∴⊿ABC为等腰三角形.
∴C=B=2?
而在⊿ABC中，A+B+C=2?+2?+2?=180度
∴?+2?=90度
结论：①推论6为著名的射影定理。
②应用：可处理边、角、弦三者的转化问题。
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