中学数学教什么、怎么教之探究—以4节课教学设计为例

第一章绪论

孙维刚的教学，从来没有单教过数学的一个章节，每堂课教的都是整体的数学。孙维刚的数学课堂是教师们追求的，他实现了数学的教育意义，教的是真正的数学。以任何外延的途径试图把握整个数学的尝试，结果都是注定不成功的，因为数学不是用穷尽法可以完结的。在数学的产生、发展过程中，存在一个使其成其为“数学”的、贯穿于数学始终的不变的东西，这就是数学的内涵实质。找到了它，数学才可以名副其实的成为一个整体，教师才可以名副其实的教数学，学生才可以学名副其实的数学。孙维刚的数学教学，被认为是及其少有的教师之教的状态，因为他和其他数学教师不同，他培养出的学生也和其他的学生不同。人们认为这样的教师是少数的。那么，在教师专业发展的今天，我们是否应该对孙维刚的数学教学有以下的考虑：教师专业发展难道不应该指向这样的一个目标吗？难道我们作为未来的教师不应该学这样的数学教学吗？应该学什么呢？怎样才能站在系统的高度，整体的把握数学呢？由此，提出“中学数学教什么”的问题，以中学数学中的4个课为例（分别为“从算术到方程”、“变量与函数”、“变化率与导数”、“随机事件的概率”），对此问题进行探讨，由此展开本次研究。
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第二章从“方程”到“概率”

一、 数学与世界
在古代将数学称为“算学”或“算术”，从中体现出我国古代的数学以计算为主，后将其改为“数学”。“数学”一词来源于古希腊，其有学>J、学问、科学之意。从字面理解“数学”是关于数字的学问，毕达哥拉斯学派的“万物皆数说”体现了这一点，认为世界上的万事万物都可以用数来衡量，世界万物都具有数学属性。尽管无理数的出现使得“万物皆数”说不再成为真理，但是这一说法并不过时，这个时期正在被小学生真实的经历着、感受着。起初，儿童带着物的属性进入数学，需要借助“一个苹果"来认识数字“1”。“1”可以指代任何具有数量“1”的东西，不同之处在于，现实生活中数字“1”并不存在，但是它所抽象掉的那个物质实在却真实的、大量的、可感的存在于世界当中，这从根本上决定了数学与世界的联系与不同。数学起源于人类早期的生产活动，在人类对此界的认识过程中逐渐形成。数学将现实世界中事物的物质实在抽象掉，剩下的纯形式关系进入数学的研究范畴，这些纯形式与世界当中的某个实在对应着，有些是对实物的直接抽象或是在对实际问题的直接解决中产生，一般都可以直接找到促使其产生的源头。还有些是为了满足数学内部的需要而产生，促使这个新形式产生的东西地位相当于世界当中的物质实在，可以被直接的感知、认识并可以成为下一个新知识的内在前提。因此，对于任何数学知识，还原知识的本来面貌，找到促使其产生的源头，才可以知其然更知其所以然！带着这样的理解，认识方程、函数、导数和概率。

二、 数学发展中的转折点
在数学的发展进程中，存在过只有算术的数学时期，这一时期依赖于列算式解决问题。因此，算式成为了这一时期解决问题的主要方式。通过列算式，可以直接利用已知数的混合运算求得未知。但是，随着问题的逐渐增多，每一个问题都需要列出不同的算式，呈现出了一个个零散的、各个算式之间没有什么联系的问题。另外，面对含有复杂关系的实际f"J题，试图通过已知直接求得未知的解法显得极其困难，解决问题时通常需要复杂的思考过程和很难把握的巧妙思路，思维难度过高，即便找到了一个巧妙的解法，这种解法一般只对一个问题有效，当面对下一个新问题时又重新回到了原点。一切问题显得零零散散。算数fpj题中积累了大量关于各种数量问题的解法，为了寻求有系统、更普遍的方法以解决各种数量关系fpj题，产生了以解方程原理为中心问题的初等代数。方程通过直接建立等量关系解决问题，使得未知数参与其中，使得数学从算术转向代数。

第二章 从“方程”到“概率”...... 8

一、 数学与世界...... 8

二、 数学发展中的转折点 .........9

二、 数学形式和运算........ 10

四、 4个课选取的设计思想...... 11

第三章中学数学教什么、怎么教...... 13

一、 从算术到代数——《从算式到方程》的教学设想........ 13

二、 从数值到变量——《变量与函数》的教学设想.......... 15

三、 无穷小运算——《变化率与导数》的教学设想 ..........17

四、 “不确定”的数学——《随机事件的概率》的教学设想.... 20

第四章研究结论与反思......... 23

第三章中学数学教什么、怎么教

一、 从算术到代数——《从算式到方程》的教学设想
方程是数学发展的转折点，它也会成为学生学习数学的转折、认识数学的转折，自此他们考虑问题的方式会发生改变，字母将进入他们的视野并逐渐带领他们在数学的世界中走得更远，在思维上实现从算术到代数的转变，，感受方程这种新形式的出现以及它带来运算上的变化，从理论上体会方程简便之所在，用方程本身吸引学生，使得学生+是从为了对付考试而产生对方程的兴趣，而是从学生的内心深处产生对方程的理解，感受方程解决问题时的普遍化意义、方程中字母的意义并体会方程是对世界中等量关系的描述形式。由此产生对方程的兴趣以及对数学的兴趣。这也将成为本课教学所期待的一次尝试。

二、 从数值到变量一《变量与函数》的教学设想
《变量与函数》是人民教育出版社八年级上册第十四章“一次函数”第一节“变量与函数”的第一课时，学生在此之前接触的数、方程、不等式、平面图形等，都属于常量数学的范畴。常量数学是以常数、常量和不变的图形为主要研究对象，比如方程，是对等量关系的直接描述，旨在求得数值解。但是，世界当中的变化在常量数学中没有数学形式描述它。这种运动、变化却在世界_中存在并且对人类生活产生着影响，因此，对当前的数学（常量数学）提出了新的要求：必须产生一种可以表示变化过程以及变化着的量之间依赖关系的形式，这样的需求使得函数产生。《变量与函数》这节课是学生接触变量的幵始，变化带领学生进入函数，函数带领学生进入数学，感受数学从数值到变量、从求解到关系描述的变化，使得学生完成这种从“静止”到“运动”的转变，学会用变化的观点把握函数，进一步认识运动的数学。如何使得学生感受到这样的变化呢？由于方程作为常量数学的代表是学生早已熟悉的，因此可以尝试着从方程开始本课的教学，利用方程的不变、离散解产生出变化的函数，从中体会数学从常量走向变量、从静止走向运动的变化。同时，方程与函数的联系也“一切尽在不言中”。
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第四章研究结论与反思

一、 中学数学教什么、如何教
本文从形式和运算的角度考虑“数学是什么”的H题，方程、函数、导数、概率教学内容的设想是以“数学是什么”而展幵，尝试从形式关系和数学运算来把握中学数学，使得数学成为一个以形式关系和运算为核心，并由此逐步展开的统一体，进而形成整个数学知识体系。从这个本质上把握数学,将整体的数学思想渗透到数学教学中，使教学过程中不偏离数学轨道，真正的教数学，并为“中学如何教数学”提供一个线索。中学数学的教学内容，不论是起始课还是复习课，都由内而外的散发着数学的味道，数学带给学生的是由形式和运算展开的数学知识，这样的理解使得数学知识不再是一个个孤立的单独体，而是由一个中心逐渐向外发散可以到无穷。尽管无穷、尽管发散，却可以被把握，“形式关系”将这些无穷无尽的知识联结在一起。伴随着新形式的出现，带来了运算的变化，从而充盈起了数学运算。数学运算也为感受数学新形式提供了机会。

二、 学生数学素质的养成
数学教学的最终目标是形成学生的数学素养，养成学生的意识品质，其中包括知识与技能、过程与方法、情感、态度与价值观。这些东西不会单独产生出来，必须借助具体知识来实现，而数学知识不是概念、不是纯记忆、不是技能的训练，恰恰这一切都可以通过含有数学学科性质特点的教学所引起。这样的教学不只可以引起知识本身还可以引起能力、体验、情感、价值观等，一同汇聚成数学意识品质。方程描述了世界当中的等量关系，它的出现带来了字母运算和解方程。学生知道方程的概念不算数学素质，知道“求谁设谁”也不能构成数学素质，仅会解方程当然也不是数学素质，方程的概念、解方程所有的这些应该是形成数学素质时表现出来的东西，但是仅会背概念，仅会解方程是不能产生出数学素质的。只有当学生带着方程在解决问题时产生的不同之感进入到解方程的运算中，从中体会方程的普遍化意义时才有方程带来的数学素质。

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参考文献（略）