太阳影子定位技术 2015高教社杯 数学建模 获奖论文

  本文关键词：太阳影子定位，由笔耕文化传播整理发布。

太阳影子定位技术 2015高教社杯 数学建模 获奖论文

太阳影子定位技术

摘要

本文以太阳影子定位技术为背景，结合直杆影子轨迹的变化规律建立数学模型。并运用视频数据分析的方法，确定拍摄地点及日期等地理信息条件。

第一问给出了北京时间、拍摄日期，以及拍摄地点的经纬度。我们可以结合太阳赤纬、时角、直杆的经纬度与太阳高度角之间的关系建立模型，求出符合时间条件要求的太阳高度角，再根据已知的杆的高度和三角公式求出影长关于时间的变化曲线。

第二、三问在第一问的基础上增加难度，使部分变量未知。通过文献查阅和方程推导，得出阴影运动轨迹形状是双曲线的一支，并且具体形状和当地的纬度以及赤纬有关，本文根据这点进行模型假设与建立。附件中给出的坐标并不一定是标准地理坐标，通过对其进行坐标变换，引入了实际坐标系与标准地理坐标系的偏角。

在拟合多项高次变量组成的隐函数方程的过程中，为增加精确度，运用最小二乘法进行拟合求解未知参量时，可以利用直杆阴影顶点轨迹的形状，建立参量和变量之间的关系，简化需拟合的隐函数方程。

这样就可以根据太阳影子顶点横纵坐标以及对应的时刻，把偏角、纬度、经度、日期作为未知参数进行拟合，得出要求的地理位置和相应的日期。如通过对附件1数据的拟合求解可得到一组地理坐标（东经104.425度，北纬15.6578度），对附件2数据的拟合求解可得一个可能的日期6月21日，坐标（东经116度，北纬26度），由附件3得到的可能的日期地点为：6月21日，（东经164.55度，北纬71.26度）。

为了便于定位，根据一般工程的实际需求，对美国天文学家纽康（New Comb）提出的太阳公式作了综合、简化，舍去了一些高阶微小量。结合测量学的理论，用数学模型进行非线性拟合求得直杆所处的经纬度。

第四问给出一段视频，实际是对前三问模型的实际应用。本问对一些已有的论文以及专利进行借鉴，创新与简化。首先对视频中的图像进行取帧，在灰度处理中因为技术限制，改为运用Matlab二值化处理。并根据简单测量画出运行轨迹。

运用主元分析法求得阴影尖端坐标与杆底坐标的关系。确定影子的运动轨迹。之后借鉴已有成熟理论将2D图像去畸变，恢复仿射的度量属性，通过对3D图形转变2D过程的逆向推导，将坐标恢复为符合现实要求的坐标。之后回归前几问建立的的日晷数学模型进行求解，，得到一个可能的地理坐标为（东经104.9度，北纬25.33度）。并在最后进行误差修正。

关键词：日晷投影原理、杆影端点轨迹、非线性最小二乘法、主元分析法、 二值化处理、Floodfill图论算法

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