模糊多准则决策方法研究综述

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模糊多准则决策方法研究综述

王坚强

中南大学商学院，长沙 （410083）

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摘 要：模糊多准则决策是当前决策领域研究的一个热点,在实际决策中有广泛的应用。为此介绍了基于模糊数、直觉模糊集和Vague集的多准则决策方法和语言多准则决策方法的研究现状 ,定义了直觉梯形模糊数和区间直觉梯形模糊数,它扩展了模糊数和直觉模糊集。最后,探讨了目前模糊多准则决策要解决的问题和发展方向。

关键词：模糊多准则决策，模糊数，直觉模糊集，直觉梯形模糊数，区间直觉梯形模糊数，Vague集，语言多准则决策

中图分类号：C934 文献标识码：A

1 引言

在社会经济生活中,存在大量多准则决策（MCDM）问题。这些问题可分选择、排序和分类三类。目前求解多准则决策问题的方法甚多

[1~5]

1

Zadeh的模糊集理论中“亦此亦彼”的模糊概念的基础上增加了一个新的参数—非隶属函数,进而可以描述“非此非彼”的模糊概念。因此,基于直觉模糊集和Vague集的MCDM问题已引起越来越多学者的关注。

同时,准则权系数信息也可以是确定的实数、模糊数、直觉模糊集、Vague集和不完全确定信息,这样就构成了多类FMCDM问题。本文对各类模糊多准则问题进行分析,指出不同方法的优点和不足,并讨论FMCDM问题中可能的研究方向。

,其中ELECTRE、

PROMETHEE、UTA/UTADIS 是应用较广的有效方法。这些方法中要么准则权系数和准则值确定,要么其权系数或准则值通过训练集建立规划模型推导得出。但在一些决策问题中,方案的准则权系数或/和准则值不准确、不确定和不能完全决定,Roy解释了这种现象[6]。这些不准确和不确定性主要有模糊性、随机性、灰色性、不确知性、泛灰性和多重不确定性等[7]。而对MCDM中模糊性研究由来已久,并成为当前研究的一个热点。

1965年Zadeh提出模糊集理论,1970年Bellman和Zadeh将模糊集理论引入多准则决策中,提出了模糊决策分析的概念和模型,用于解决实际决策中的不确定性问题。自此,模糊多准则决策（FMCDM）取得了众多研究成果。模糊数的提出使得利用模糊数可以较好地描述多准则决策中的模糊性,这样基于模糊数的MCDM就成为FMCDM的一个重要方向。

直觉模糊集和Vague集是Zadeh的模糊集理论最有影响的扩展和发展,它们均是在1

2 权系数的不完全确定信息

准则权系数的确定方法有主观确定和客观确定两类。客观确定方法不能反映决策者的偏好,同时不同的方法得到的权系数可主观能不一致,因而其决策结果也有差异[8]。确定方法常用的有AHP、ANP、CNP。但在实际决策时,决策者很难准确地给出准则权系数或很难对一些准则的重要性程度进行两两比较,但能以不完全确定信息的形式给出准则权系数间的关系[9]。文献[10]将其分为5类,实际决策问题中不完全权系数信息是这五类中的一类或几类的组合。文献[9]在分析权系数间线性关系的基础上,将不完全确定信息分成下列3类：

（1）{ω:A1ω≥b,ω>0,b≥0}; （2）{ω:A1ω≤b,ω>0,b≥0}; （3）{ω:A1ω=b,ω>0,b≥0};

本课题得到国家自然科学基金重点项目

（70631004）；湖南省软科学项目（06FJ4126）；湖南省哲学社会科学评审委员会项目（0608064A）

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其中 ω=(ω1,ω2,Λ,ωn)T, A1是l×n矩阵。

上述3类不完全确定信息是不完全信息、不确定信息和部分确定信息的扩展[9]。

息不完全确定且准则值为模糊数的MCDM问题在实际决策中经常遇到,但研究较少

[2,9,16~17]

。如文献[2]提出了一种方法,该方法

针对权系数信息不完全、主观偏好值与属性均为三角模糊数的MCDM问题,如果不考虑主观偏好值,该方法将失效。文献[16]提出了一种方法以克服前述方法的不足。文献[17]定义了模糊效用函数, 提出了信息不完全确定的模糊多准则UTA方法,避免了对模糊数进行规范化处理的不足。

在实际决策中,准则值的数据可能缺失。对准则值数据缺失的FMCDM问题研究很少。Yang JB等提出的模糊证据推理算法为这类决策问题提供了一种解决方法[18],但只考虑了准则权系数确定的情形。而未见数据缺失的准则权系数为模糊数或信息不完全确定且准则值为模糊数的MCDM问题的研究。

3基于模糊数的模糊多准则决策

方法

模糊数的提出使得MCDM问题中的模糊性有了较好的刻划工具。常用的模糊数有三角模糊数和梯形模糊数。区间数和三角模糊数都是梯形模糊数的特例。

模糊数的排序有许多不同的方法[1,11],常用的有Dubois和Prade的基于可能性测度和必然测度的可能性理论、Chihashi和Tanaka的比Dubois和Prade更详细的区间数比较法、Lious和Fortemps的总和积分值或面积补偿法、Chu TC的利用中心点与原点之间的确定面积定义模糊数之间的测度方法等。这些方法各有优点,但均存在一定不足[11]。

许多准则权系数和准则值确定的MCDM方法纷纷推广到FMCDM问题中,提出了众多FMCDM方法[1,2,12~14],如模糊TOPSIS方法、模糊ELECTRE方法和模糊PROMETHEE方法等。

目前,主要集中研究二类FMCDM问题：其一是准则权系数确定或为模糊数且准则值为模糊数的MCDM问题,其二为准则权系数信息不完全确定且准则值为模糊数的MCDM问题。

对权系数确定或为模糊数且准则值为模糊数的MCMD或群决策问题的研究较多

[1,12~14]

4基于直觉模糊集的模糊多准则

决策方法

模糊集概念有多个扩展,其中重要的一个是直觉模糊集(Intuitionstic fuzzy set)。直觉模糊集由Atanassov 提出[19],它是对传统模糊集的一种扩充和发展。直觉模糊集增加了一个新的属性参数：非隶属度函数,能够更加细腻地描述和刻划客观世界的模糊性本质,因而引起众多学者的研究和关注。

自从直觉模糊集被提出以来,很多学者对直觉模糊集进行了研究[20-24],并将其应用于决策中,如Szmidt和Kacprzyk将直觉模糊集应用于有不精确信息的群体决策中[22-23], De等将其用于医学诊断决策中[24]。

在MCDM问题中,如果准则值或/和准则权系数为直觉模糊数,称这类问题为基于直觉模糊集的MCDM问题。由于没有实数与直觉模糊集的运算,使得求解这类决策变得困难。文献[25]研究了准则权系数和准则值均为直觉模糊集的MCDM问题,通过构建线性规划模型来求解最优准则权系数,进而得到方案的排序。文献[26]通过利用记分函

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,这些研究主要集中在利用一个集成

函数将各准则的模糊数和准则权系数集成起来,再利用某一模糊数的比较方法,得到方案的排序或分类。在这些方法中,重要的一步是对准则值进行规范化处理,但规范化处理存在一定缺陷[15],它不能反映决策者的偏好,而且可能影响决策结果。

但在实际决策中,决策者给出准则权系数的不完全确定信息更容易。这样权系数信

数和精度函数定义决策方案的适应度,然后利用适应度建立线性规划模型,求解得到最优准则权系数,通过计算最优准则权系数时方案的适应度值来确定方案的排序。文献[27]研究了准则权系数为实数且准则值为直觉模糊集的MCDM问题,通过对点运算的分析与扩展,提出了一种记分函数方法来确定方案的排序。文献[9]对准则值为实数或和不完全确定信息且准则值为直觉模糊数的MCDM问题进行了研究,提出了求解这类问题的TOPSIS方法、VIKOR方法及基于证据推理的求解方法。但相对基于模糊数的MCDM方法来说,基于直觉模糊数的MCDM方法还显得太少。

区间直觉模糊集、直觉三角模糊数和直觉梯形模糊数是直觉模糊集的扩展。

目前相关文献主要研究区间直觉模糊集的性质、相关性等,讨论其应用于MCDM中的文献较少

[9,28~29]

它的非隶属函数为:

?b?x+νA(x?a1)

a1≤x≤b?b-a1?

? ν b≤x≤c

νA(x)=?A

νxcdx?+?()A1? c≤x≤d1

?d1-c?

? 0 其它

其中0≤μA≤1,0≤νA≤1,μA+νA≤1,则称A=<([a,b,c,d];μA),([a1,b,c,d1];νA)>为直觉梯形模糊数。

当b=c时,梯形直觉模糊集就变为直觉三角模糊数。

如果μA,νA均为区间[0,1]的闭子区间,则A=

LRLR

<([a,b,c,d];[μA,μA]),([a1,b,c,d1];[νA,νA])>为

称

区间直觉梯形模糊数。

目前,关于直觉三角模糊数的研究较少见,文献[30]定义了4种运算,并将其应用于故障树分析中取得了较好效果。而对直觉梯形模糊数和区间梯形模糊数的研究未见文献报导。

。当然,基于直觉模糊集

的MCDM方法均可扩展到基于区间直觉模糊集的MCDM中,但由于目前通用的区间数的减运算不是加运算的逆运算,除运算不是乘运算的逆运算,这样就增加了求解这类决策问题的难度。文献[9,29]中将求解基于直觉模糊集的MCDM的TOPSIS方法、VIKOR方法及基于证据推理方法推广到了基于区间直觉模糊集的MCDM中。

区间直觉模糊集是将直觉模糊集的隶属度和非隶属度由实数扩展到区间值,它们是对传统模糊集的扩展。一般情况下,它和直觉模糊集一样,其论域是离散集合。而直觉三角模糊数和直觉梯形模糊数从另一个方向对直觉模糊集进行扩展,即是将离散集合扩展到连续集合,是对模糊数的扩展。

定义1：设A是实数集上一个正规的凸子集,它的隶属函数为：

?x?a

?b-aμA a≤x≤b?

μA b≤x≤c

μA(x)=??

?dx?μ c≤x≤d?d-cA

? 0 其它?

5 基于Vague集的模糊多准则决策方法

1993年,Gau和Buehrer提出了VagueVague集具有集[31],它是模糊集的一种扩展。

比模糊集更好的表达不确定性的能力,已引起众多学者的关注,被广泛应用于人工智能、决策分析、模式识别和智能信息处理等领域。虽然1996年Bustince和Burillo证明了Vague集是直觉模糊集[32],但还有不少研究人员在研究基于Vague集的FMCDM问题,提出了相应决策模型与方法[33~38]。

目前,利用Vague集主要研究下列FMCDM问题：设方案集为A={a1,a2,Λ,am},约束条件集或准则集C ={C1,C2,Λ,Cn},各决策方案在各准则下的值用Vague集表示。决策者要在方案中选取一个最优方案同时满足约束条件C1,C2,Λ,Cp或者约束条件

Cs。针对这类问题一系列基于Vague集的

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FMCDM方法被提出[33~38],如评价函数法、记分函数法、加权记分函数法、距离法、基于包含度的决策方法、基于相似度的决策方法,基于利益函数的决策方法和基于Vague集的模糊一致性关系的决策方法等。

区间Vague集是Vague集的扩展,目前,基于Vague集的FMCDM方法均可扩展到基于区间Vague集的FMCDM中,如评价函数法、记分函数法和基于距离的相对优属度法。

前面已经提到, Vague集是直觉模糊集,因此,基于直觉模糊集的MCDM方法也适应于基于Vague集的MCDM。同时,基于Vague集的MCDM方法也能推广到基于直觉模糊集的MCDM中。类似于直觉模糊集,可将Vague集推广成为三角Vague集和梯形Vague集和区间梯形Vague集,并对其进行研究。

“良”好,这样的LMCDM问题称之为信息不完全确定的纯LMCDM问题。混合LMCDM问题是指准则权重信息和准则值只有部分以语言短语形式给出的决策问题。混合LMCDM问题又可分为准则权系数为确定实数且准则值为语言值的决策问题、准则权系数信息不完全确定且准则值为语言值的决策问题、准则权系数和准则值部分为语言值且部分为实数或其它形式信息的决策问题。

目前,求解LMCDM方法主要有三类：第一类方法是先将语言评价信息转化成模糊数 [2,39-40],然后采用基于模糊数的MCDM方法进行求解。但该类方法需要事先假设隶属函数,即要确定语言短语对应的模糊数,而这种假设或精确确定语言短语和模糊数的对应关系在实际应用中有一定的难度。同时,采用三角模糊数与梯形模糊数能较好地表示语言信息,容易理解,但在处理过程中,容易丢失信息,且计算较为复杂。第二类方法是利用语言评价集自身的顺序和性质对语言评价信息进行处理,并利用OWA算子以及其扩展算子[2,41-42],如FIOWA、GIOWA 、OWG、IOWA、LOWA、T-OWA、F-OWA、HA、LWD、LWC、EOWG等对方案进行集结。但这类方法中,由于事先定义的语言评价集是离散的,语言信息经运算后,很难精确对应到初始的语言评价信息集,通常需要找一个最贴近的语言短语进行近似,可能会产生信息的丢失。同时最终得到的结果也难以区分方案的优劣。第三类方法是采用二元语义表示语言该类方法可以有评价信息并进行运算[43~44]。

效避免在语言决策中语义信息的丢失,从而保证决策结果的合理和有效性。同时,二元语义在运算和对结果的解释上具有优势,较好地克服了以往研究方法的缺陷。

目前,针对单值纯LMCDM问题,已有很多研究,提出了一些方法[2,39~44]。上述提出到的三类方法都可以用于求解这类问题。而对区间纯LMCDM问题,已有一些研究[2]。但在在这类语言决策中,大部分文献没有对有

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6 语言多准则决策方法

语言多准则决策（LMCDM）作为FMCDM的一个分支,其理论和方法尚未完全成熟,然而由于语言决策过程中,决策者的评价信息以自然语言短语给出,其更接近实际性,对于难以定量的决策问题作用尤为突出,从而语言多准则决策,近年来得到国内外学者的关注,也取得众多研究成果,已经被广泛应用于各种实际决策中。

LMCDM问题可分为纯LMCDM问题和混合LMCDM问题。纯LMCDM问题是指准则权重信息和准则值都是以语言短语形式给出的MCDM问题。纯LMCDM问题又可分为单值LMCDM问题、区间纯LMCDM问题和信息不完全确定的纯LMCDM问题。单值纯LMCDM问题是指准则权系数和准则值均为单个语言短语的MCDM问题。区间纯LMCDM问题是指准则权系数和准则值均为语言区间的MCDM问题。如果权系数或/和准则值不完全确定,即有某准则权系数或准则值类似于（1）~（3）形式的信息,如某方案的第一个准则值比

方案偏好的情况进行研究。针对信息不完全确定的纯语言决策问题,研究较少,只有文献[45]针对权系数信息和方案的准则值为确定语言等级或位于两个语言等级之间,甚至缺失的群决策问题,提出一种决策方法。

对准则权系数确定实数且准则值为确定语言短语的多准则混合LMCDM问题,提出了一些求解方法,这些方法有的采用模糊数处理语言值,有的采用语言算子集结,也有的利用二元语义进行处理。

对准则权系数信息不完全确定且准则值为语言短语的混合LMCDM问题,研究较少。采用将语言短语转化为模糊数,利用基于模糊数的多准则决策方法完全可求解这类问题。利用二元语义进行处理较少,只有文献[46]提出了一种方法。而采用语言算子集结求解这类问题,未见相应文献报导。

对准则权系数和准则值部分为语言值且部分为实数或其它形式信息的混合LMCDM问题,有两条途径进行处理,其一是将语言值等信息均转变为模糊数,然后采用信息不完全确定的模糊决策方法求解,其二是将实数、模糊数等信息转化为语言值,然后利用二元语义或语言集结算子进行处理。

在LMCDM中,有时准则的语言信息的粒度不同,即要处理不同粒度语言信息的一致化问题,也就是语言决策过程中涉及的语言评价集的数目不是唯一且意义有所差异。如果采用将语言值转化为模糊数的处理方式,这一问题就不需要考虑了,但采用二元语义和语言集结算子来处理,不同粒度的语言信息的一致化问题是必须考虑。Herrera在文献[47]中通过定义基本语言短语集,分别从短语的隶属度和二元语义角度给出了一种信息一致化的方法。文献[48]首先构建一个基本语言评价集作为信息一致化的参考集合,并且将不同粒度语言判断矩阵形式的偏好信息均转化为二元语义形式,然后采用基于二元语义的有序加权算术平均(T-OWA)算子进行集结。文献[2]定义了虚拟术语和虚拟术语指标等概念,给出了与语言决策矩阵

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相对应的指标矩阵,并给出了一种混合集结(HA)算子,但是该方法在转换不同语言信息评价集的过程中,也可能造成了信息的丢失。目前在实际应用中,大都是由决策者给出不同粒度语言信息间的关系,这样带有一定的主观性,有时并不能真实地反映不同粒度语言信息间关系。

7 结论及展望

FMCDM理论与方法经历了40多年的发展,已成为决策理论的一个重要分支,同时也广泛应用于投资决策、供应商选择等各类决策中。目前,它仍是决策理论研究的一个热点。虽然在理论方法和应用方面取得了很多进展,但还有不少问题亟待解决,这也是今后的研究方向。主要有：

(1)在实际决策中,由于决策者的知识和经验不同,有时决策者不能确定准则的值,即准则值可能存在缺失的情况,这类存在信息缺失的FMCDM问题是值得研究的。

(2)基于直觉模糊集和区间直觉模糊集的MCDM方法,目前还比较少,而直觉模糊集和区间直觉模糊集更能反映决策参数的模糊性,因而这类FMCDM问题有必要进一步研究。

(3)直觉梯形模糊数和区间梯形模糊数是对梯形模糊数的扩展,目前对直觉梯形模糊数和区间梯形模糊数的运算、性质、距离和相似性等都没有研究,更不用说基于直觉梯形模糊数和区间梯形模糊数的MCDM方法的研究了。因此,对直觉梯形模糊数、区间梯形模糊数以及基于直觉梯形模糊数和区间梯形模糊数的MCDM问题的研究是值得关注的。

(4)语言信息是表达模糊性最直接的形式,对LMCDM理论方法和应用的研究,虽取得了较大进展,但有必要进一步丰富和完善。

(5)不确定信息除模糊信息外,还有随机信息、灰色信息和不确知信息等,基于多重不确定性,如模糊随机性、随机模糊性和灰色模糊性等的MCDM问题,目前研究较少,这也

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