单摆的超大振幅振动
发布时间：2019-11-18 23:58
【摘要】：基于单摆的动力学方程和运动初始条件对单摆的大振幅振动进行了近似分析,介绍了一种估计摆振幅接近π的振动周期的解析方法.结果表明,当摆振幅小于2.8 rad时估计值偏离精确值较多,产生误差的原因在于采用了线性近似.
【图文】：
，可见角速度在T0/2时间间隔(从T0/2变化到T0)内，角速度减小了约22/23，而角位移变化仅为0．17rad．由此可见，当单摆做振幅趋近于π的大振幅振动时，单摆在从平衡位置向正最大角位移运动的过程中，在此过程后期的运动非常缓慢，故其周期为有限值，我们可借助于图像分析技术研究角位移式(5)或角速度式(6)随时间变化的趋势，在一定精度范围内估计单摆振幅无限趋近于π时的振动周期．除图像分析技术外，基于式(5)或式(6)，本文将介绍一种很好的解析方法分析摆作振幅超过π/2的振动时的运动行为和周期．图1给出了单摆振幅分别为3．1和3．0的振动相图，如实a和虚线b所示．比较曲线a和b发现当角位移|θ|＜θC时两曲线几乎重合，此处θC为两曲线重合区域角位移绝对值的最大值．这表明当单摆作振幅趋近于π的大振幅振动时振幅变化对其振动周期的影响主要发生在角位移|θ|≥θC的范围之内．图1单摆大振幅振动的相轨迹曲线a:θ0=3．1，曲线b:θ0=3．0为更好的认识大振幅振动振幅变化对单摆振动的影响，我们利用解析法比较分析两振幅趋近于π的大振幅振动．分别设两大振幅振动角位移为θ1和θ2，角速度为θ·1和θ·2，在θ1=θ2=θ时，结合式(2)，有θ·22－θ·21=4ω20sin2(θ20/2)－sin2(θ10[/2)](7)当θ20≈π时，近似有θ·22－θ·21≈4ω20cos2(θ10/2)(7a)当θ10＞3时，cos2(θ10/2)是二阶小量，，在一级近似下，在角位移变化的一定范围内有θ·22≈θ·21+4ω20cos2(θ10/2)．Butikov［2］通过比较不同振幅的大振幅振动的相轨迹的变化?
第1期王成会，等:单摆的超大振幅振动13利用角速度变化关系，结合式(6)和式(11)可同样得到式(13)给出的周期表达式．从式(10)和式(11)可以看出，在一级近似条件下，单摆在其振动正负最大位移附近角位移和角速度随时间成指数增加或减小，但π－θ10越小，形成较大角位移变化所耗时间就越长，因此θ10越大，单摆的周期越长．图2给出了分别用式(3)和式(13)计算得到的单摆大振幅振动周期变化趋势图．周期计算式(3)为一椭圆积分，由于在推导过程中没有引入任何近似处理，故本文将式(3)数值积分后得到的周期值作为精确值和近似计算式(13)进行比较．图2中符号‘◆’代表由式(3)得到的周期值，曲线代表式(13)计算得到周期值．结果表明，若单摆振幅大于2．8rad，可用式(13)在一定精度范围内估算单摆大振幅振动周期．可是，当单摆振幅小于2．8rad时，式(13)估算得到的单摆大振幅振动期小于式(3)计算所得周期，估计值偏小包含两个方面的原因:1)随着θ10减小，cos(θ10/2)增大，因此采用式(8)估计得到的t1值偏小;2)随着θ10减小，α增大，此时sinα≈α－α3/6，代入式(1)，可得α··－ω2α=－ω20α3/6+(ω20－ω2)α(14)利用逐级近似法，设α=α1+α2，有一级近似解为α1=(π－θ10)coshωt，式中ω=ω0+Δω，代入式(14)，得二级近似解满足的方程为α··2－ω2α2=－ω20α31/6+(ω20－ω2)α1=－ω20(π－θ10)312cosh3ωt－2ω0Δω+ω20(π－θ10)2()4(π－θ10)coshωt(15)上式coshωt系数为零，得Δω=－ω0(π－θ10)28(16)α2=－ω
本文编号：2562815
【图文】：
，可见角速度在T0/2时间间隔(从T0/2变化到T0)内，角速度减小了约22/23，而角位移变化仅为0．17rad．由此可见，当单摆做振幅趋近于π的大振幅振动时，单摆在从平衡位置向正最大角位移运动的过程中，在此过程后期的运动非常缓慢，故其周期为有限值，我们可借助于图像分析技术研究角位移式(5)或角速度式(6)随时间变化的趋势，在一定精度范围内估计单摆振幅无限趋近于π时的振动周期．除图像分析技术外，基于式(5)或式(6)，本文将介绍一种很好的解析方法分析摆作振幅超过π/2的振动时的运动行为和周期．图1给出了单摆振幅分别为3．1和3．0的振动相图，如实a和虚线b所示．比较曲线a和b发现当角位移|θ|＜θC时两曲线几乎重合，此处θC为两曲线重合区域角位移绝对值的最大值．这表明当单摆作振幅趋近于π的大振幅振动时振幅变化对其振动周期的影响主要发生在角位移|θ|≥θC的范围之内．图1单摆大振幅振动的相轨迹曲线a:θ0=3．1，曲线b:θ0=3．0为更好的认识大振幅振动振幅变化对单摆振动的影响，我们利用解析法比较分析两振幅趋近于π的大振幅振动．分别设两大振幅振动角位移为θ1和θ2，角速度为θ·1和θ·2，在θ1=θ2=θ时，结合式(2)，有θ·22－θ·21=4ω20sin2(θ20/2)－sin2(θ10[/2)](7)当θ20≈π时，近似有θ·22－θ·21≈4ω20cos2(θ10/2)(7a)当θ10＞3时，cos2(θ10/2)是二阶小量，，在一级近似下，在角位移变化的一定范围内有θ·22≈θ·21+4ω20cos2(θ10/2)．Butikov［2］通过比较不同振幅的大振幅振动的相轨迹的变化?
第1期王成会，等:单摆的超大振幅振动13利用角速度变化关系，结合式(6)和式(11)可同样得到式(13)给出的周期表达式．从式(10)和式(11)可以看出，在一级近似条件下，单摆在其振动正负最大位移附近角位移和角速度随时间成指数增加或减小，但π－θ10越小，形成较大角位移变化所耗时间就越长，因此θ10越大，单摆的周期越长．图2给出了分别用式(3)和式(13)计算得到的单摆大振幅振动周期变化趋势图．周期计算式(3)为一椭圆积分，由于在推导过程中没有引入任何近似处理，故本文将式(3)数值积分后得到的周期值作为精确值和近似计算式(13)进行比较．图2中符号‘◆’代表由式(3)得到的周期值，曲线代表式(13)计算得到周期值．结果表明，若单摆振幅大于2．8rad，可用式(13)在一定精度范围内估算单摆大振幅振动周期．可是，当单摆振幅小于2．8rad时，式(13)估算得到的单摆大振幅振动期小于式(3)计算所得周期，估计值偏小包含两个方面的原因:1)随着θ10减小，cos(θ10/2)增大，因此采用式(8)估计得到的t1值偏小;2)随着θ10减小，α增大，此时sinα≈α－α3/6，代入式(1)，可得α··－ω2α=－ω20α3/6+(ω20－ω2)α(14)利用逐级近似法，设α=α1+α2，有一级近似解为α1=(π－θ10)coshωt，式中ω=ω0+Δω，代入式(14)，得二级近似解满足的方程为α··2－ω2α2=－ω20α31/6+(ω20－ω2)α1=－ω20(π－θ10)312cosh3ωt－2ω0Δω+ω20(π－θ10)2()4(π－θ10)coshωt(15)上式coshωt系数为零，得Δω=－ω0(π－θ10)28(16)α2=－ω
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