两类非线性发展方程的适定性问题

发布时间：2020-07-26 18:34

【摘要】：本文主要研究两类非线性发展方程:非线性Schrodinger方程和磁流体力学(MHD)方程组.Schrodinger方程是一类用来描述微观粒子的状态随时间变化规律的方程.磁流体力学方程组是一类用来描述导电流体(如等离子体等)与电磁场之间的相互作用及影响.本文主要分为四个部分,第一部分作为绪论,主要介绍Schrodinger方程和磁流体力学方程组的起源及其研究进展.第二部分主要研究了导数非线性Schrodinger方程的Cauchy问题,在不添加任何辅助空间的条件下,证明了导数非线性Schrodinger方程在低正则性空间中的无条件唯一性.第三部分首先研究了在初始值远离真空状态下,可压缩磁流体力学方程组在T2上的正则解的大时间存在性;其次研究了当体积粘度趋于无穷大时,可压缩磁流体力学方程组收敛于不可压缩磁流体力学方程组,并且得到了可压缩磁流体力学方程组的解的收敛速率.第四部分主要研究在初始密度允许真空状态且不要求任何正则性或者没有正下界以及初始值不满足任何兼容性条件时,不可压缩磁流体力学方程组在T2上是全局适定的.第二章,主要研究如下导数非线性Schrodinger方程的Cauchy问题,证明了对任意的s ∈(2/3,1],导数非线性Schrodinger方程(0-1)在空间C([0,T];Hs(R))中的无条件唯一性.即在不添加任何辅助空间(如Bourgain空间等)的条件下,导数非线性Schrodinger方程在低正则性空间C([0,T];Hs(R))中的解是唯一存在的.首先,我们需要对导数非线性Schrodinger方程运用合适的规范变换,使得原来方程的非线性得到提高;其次,利用范数理论,共振分解及Bourgain空间理论逐步证明初始正则性,提高正则性,经过迭代获得最高的正则性;最后,利用压缩映射原理,得到解的唯一性.第三章,主要研究如下可压缩磁流体力学方程组首先,当不允许初始值出现真空状态时,证明了可压缩磁流体力学方程组在T2上对任意正则的初值和任意固定的时间T0,存在v0使得对任意的v≥v0,方程组的正则解的大时间存在性.更准确地说,第一步先建立可压缩磁流体力学方程组的解的L2估计与H1估计;第二步给出假设条件Aq(T)≤c0(2 ≤q),利用输运方程的可积性缺失估计,嵌入定理以及抛物方程的最大正则性估计得到||%溅褆|L∞(0,T;L2)的约束估计;第三步利用抛物方程的最大正则性估计和系鞋带理论对给出的假设条件的合理性予以证明,从而获得正则解的大时间存在性.其次,利用投影算子可推出可压缩磁流体力学方程组(0-2)的不可压形式,结合能量估计证明了当体积粘性系数v趋于正无穷时,可压缩磁流体力学方程组(0-2)收敛于如下不可压缩磁流体力学方程组并且得到了可压缩磁流体力学方程组与不可压缩磁流体力学方程组的解的收敛速率与体积粘性系数v成反比.第四章,主要研究下列不可压缩磁流体力学方程组证明了当密度ρ,速度场u,磁场b满足0≤ρ≤ρ*,M:=∫T2 ρ0dx0,u0,b0 ∈ H1(T2),而且密度没有任何正则性或正下界时,非齐次不可压缩磁流体力学方程组(0-4)的解是全局适定的.更准确地说,当初始值不满足相容性条件,那么需要引进材料导数u=ut+u·%絬,从而得到||u||L2的有界性.另一方面,由于密度户没有任何正则性,则在一般的欧拉坐标系中难以得到解的唯一性,必须变换坐标系,利用拉格朗日坐标系的特点去克服这一困难,从而得到解的唯一性.
【学位授予单位】：华南理工大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2019
【分类号】：O175;O361.3

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本文编号：2771139