连续介质体系模式激发及非线性相互作用的理论和实验研究

发布时间：2020-08-23 16:38

【摘要】：连续介质的动力学演化所满足的偏微分方程与相应的边界条件构成定解问题。人们往往将有限尺寸系统中的偏微分方程变换到本征模式空间求解模式系数所满足的无穷维常微分方程。对于确定的边界条件(一般有第一类齐次和非齐次,第二类齐次和非齐次,以及这些边界条件的混合),系统所具有的对称性对非线性动力学的性质也会产生重要影响。非线性导致模式之间产生耦合,使连续介质系统产生丰富的动力学行为和斑图结构,对称性会加强某些模式之间的耦合强度而削弱另一些模式间的耦合强度。前人对一维非线性连续介质系统或离散晶格系统的模式激发与演化做了大量研究,我们在本论文中主要关注的问题是:在不同对称性下,二维连续介质是如何在非线性作用下被激发并演化的。对此,我们以水表面波系统和二维非线性Schr?dinger方程为研究对象做了如下两个工作:一、研究了长方形水槽系统中Faraday波的动力学演化,发现了一类具有新型结构的水表面波——交替局域的二维Faraday波(Alternately Localized Faraday Wave,ALFW)。在实验上,我们首先对振动台的系统误差对实验的影响做了定量分析,并详细刻画了ALFW波的四个主要特征:(a)局域化与“悬臂振动”。这是其波形区别于其它波形最明显的特征,即其振幅较大的区域不但在水槽的长方向上交替分布,也在窄方向上呈现出一端振荡剧烈而相对的另一端平坦不动的“悬臂”式振荡。(b)二模DCT谱与锁相。ALFW波表现出的特殊局域化并非由复杂的模式构成,而是简洁的两个模式——(12,0)模与(8,1)模。这两个模式通过锁相形成固定的相位差,从而产生较大的干涉相长和相消来形成ALFW波形。(c)动力学演化过程中模式间的“驱动-受激”关系。通过线性分析和非线性分析得到了描述ALFW波的动力学模型,即“驱动-受激”的参数驱动方程。(d)ALFW波关于参数的稳定性。ALFW波在一定参数范围内可以稳定出现,这对于实验观测到该现象是必要的。在理论上,给出了形成ALFW波的线性和非线性动力学机制。通过水表面波线性化分析可以得到水表面波的模式系数所满足的Mathieu方程。对无耗散和带耗散Mathieu方程的稳定性参数空间的详细讨论得出耗散和非线性在ALFW波的形成过程中起重要作用的结论。通过对水表面波所满足的非线性方程做小振幅近似推导出低阶的弱非线性动力学方程。在此基础上,考虑到物理图像上的要求,我们给出了用以描述ALFW波渐近动力学行为的强非线性模型。通过系统性地调整方程的待定参数使得数值模拟和实验得到的两类参数空间的相边界彼此吻合,如此就确定了唯象模型中的方程参数。特别地,我们选择特定参数做实验并与数值模拟得到的时间序列作比较,证实了唯象模型对描述ALFW波的适用性。最后,我们对数值模拟所得到的参数空间相对于拟合得到的参数的敏感性做了详细分析,结果表明唯象方程关于参数的选取具有较强的鲁棒性。在这个工作的基础上,我们将进一步把其中的实验技术和理论方法应用到探究不可积系统(比如足球场形边界的水槽)的水表面波动力学上。二、数值求解了足球场系统中的非线性Schr?dinger方程,从中发现了单个模式(主模)作为初态对其它模式的“指数激发”和“指数回归”现象。同样地,我们给出了线性和非线性动力学机制解释了这两个现象。通过线性分析可以得到主模的演化方程及其解析解,基于此给出了其它模式在主模的驱动下所满足的线性化稳定性方程。我们发现本征模式在非线性作用下与主模相互耦合导致的不稳定性来源于两种类型的机制:(a)对称性所带来正弦激发和(b)参数不稳定性(复“Mathieu”方程)所带来的指数激发。对具体模式(主模=200)的分析表明“指数激发”现象正是由于指数增长的模式的参数落到了复“Mathieu”方程参数空间的不稳定区。最后,我们发现“回归现象”发生在主模和失稳模之间,两者通过非线性耦合使能量在两个模式之间按指数形式递增或衰减。通过多重尺度微扰得到了两个模式演化的渐近行为,其相图是完全周期的并对初始值的选取是稳定的。通过数值模拟非微扰方程得到其相空间结构,这是关于两个模式对称的相互咬合的“梳形结构”,说明两个模式的“主”、“失稳”角色并不是绝对的,而是在演化过程中不断转换。这种角色转换的机制使得每当能量从一个模式转移到另一个模式时,复“Mathieu”方程的适用性也会从“失稳”模式转移到之前的“主”模式上,从而回归过程中的指数激发和衰减得到了完全的解释。通过这两个工作我们发现,对于对称性比较高的长方形水表面波系统,模式间的非线性相互作用可以产生“驱动-受激”模式对,这方便了人们构造强非线性模型来描述系统的动力学。对于对称性比较弱的足球场系统,导致模式失稳的机制依赖于剩余的对称性,即:对称性使得耦合增强的模式可以通过正弦激发而失稳,耦合较弱的模式可以通过指数不稳定失稳。
【学位授予单位】：兰州大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2019
【分类号】：O33
【图文】：

示意图,问题,示意图,量纲

地球的半径设为，抛射物离地表的 (0) = 0, (0) = . 出所有参数和变量以及它们的量纲为一个变量，构建一个与具有同样量纲纲量。比如，在抛射问题这个具体例子中，为；而时间变量的量纲与参数组合 / 。现在引入空间与时间的无量纲参数 =2, = . 的时间和空间变量 , 其量级为 (1)。利用问题方程= 1(1 + )2, (0) = 0, (0) = 1, =

多重时,数值解,虚线,尺度

图 1.2 多重时间尺度得解（虚线）与数值解（实线）比较。10(0,0) ++111(0,0) ++120(0,0) + = 0. (1.15)方程（1.15）的一阶项 ( ):2120+0= 0 (1.16)初始条件为0(0,0) = 1,10(0,0) = 0, (1.17)求得解为0(1,2) = (2) cos[1+ (2)] . (1.18)容易看到，不失一般性，微扰的第二项需要考虑进 303/6（否则会得到平庸解）, 故接下来通过“项平衡”来估计与的相对大小。我们得到 = = 2是

图片,不可积

非线性 Schr dinger 方程在不可积1/4足球场系统中演化，增大至20，系统的熵（）显示出模式系数为量子 Gibbs 分布。的兴趣主要是试图通探究二维实空间中非线性 Schr dinger 动力学性质。对于形状复杂的不可积弹球系统[36]，经典动力的运动轨迹呈现混沌行为。我们期望对这样的不可积边界系互作用会呈现出与规则边界不一样的行为。们的模拟中，将单个模式激发起来作为初始值，初始能量集中着非线性相互作用而逐渐扩散到其它模式上。事实上，单个模线性作用下扩散是人们经常关注的经典 Fermi-Pasta-Ulam（对 FPU 问题的研究已超过半个多世纪，在这个领域积累了大验[38]。由于疤痕态是特殊的一类本征态，从数学的角度看中的演化与 FPU 问题紧密相联，所以我们将其置于 FPU 问题上，FPU 问题主要关注有限维非线性系统的热化过程。在初态，FPU 系统很快达到能均分的热平衡状态；而对于能量较小

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