一维正交准晶中具有四条裂纹的椭圆孔口问题的解析解
发布时间：2021-03-03 19:43
运用广义复变函数方法,通过构造适当的广义保角映射,研究了一维正交准晶中具有四条裂纹的椭圆孔口的平面弹性问题.通过引入应力函数,把平面弹性问题的基本方程简化为一个四阶偏微分方程,从而给出了各个应力分量在像平面的复表示,求得了裂纹尖端的应力强度因子的解析解.当描述缺陷的各参数发生变化时,该文的结果不仅可以还原已有文献中的结论,还可给出多种常见缺陷构型的应力强度因子,为工程力学分析提供了理论依据.
【文章来源】：应用数学和力学. 2019,40(02)北大核心
【文章页数】：13 页
【部分图文】：
一维正交准晶中带有四条不对称裂纹的椭圆孔口g.1FourcmckaoriginatingImmasellipticalholeembeddedis1DorthorhombicQCa;入方程(15)，再由条件(17)和(19)得:由于:;、二时，
e1=c1+c21－a2+b槡2a+b，e2=c2+c22－a2+b槡2a+b，f1=d1+d21+a2－b槡2a+b．(28)图2带四条裂纹的椭圆孔口外部到单位圆内部的保角映射Fig．2Conformalmappingfromtheouterregionofanellipticalholewith4edgecrackstotheinsideofaunitcircle将ζk平面的单位圆内部映射到zk平面内的区域Ωk，且ω－1k(c1)→1，ω－1k(－c2)→－1，ω－1k(d1i)→C，ω－1k(－d1i)→C1，如图2所示．记单位圆边界为r，取ζk=σ=eiθ，0≤θ≤2π，则Ωk上两个点被映射到单位圆上一个点，用Φ(0)k(ζk)表示ψ(0)k(zk)被映射后的函数．则式(23)和(24)可写为∑2k=1［Φ(0)k(σ)+Φ(0)k(σ)］=ap4·h(σ槡)σ，(29)∑2k=1［ηkΦ(0)k(σ)+ηkΦ(0)k(σ)］=0．(30)对式(29)和(30)两边同时乘以12πidσσ－ζk，ζk为单位圆内任意一点，然后沿边界r积分，由Cauchy(柯西)积分定理，得12πi∫rΦ(0)k(σ)σ－ζkdσ=Φ(0)k(ζk)，12πi∫rΦ(0)k(σ)σ－ζkdσ=0，12πi∫rh(σ槡)σ(σ－ζk)dσ=h(ζk槡)ζk－g21+g槡23+g22+g槡23ζk，(3
3讨论与结果当几何参数取极限时，可以得到一些特殊构型的应力强度因子的解析解，具体讨论如下．情形1当c2→a时，此时g2→1，构型为具有三条裂纹的椭圆孔口，如图3所示．由式(39)可知，在裂纹尖端点z=c1处的应力强度因子为KσⅢ=ap槡π2g12(g21－1槡)(1+g槡23+g21+g槡23)(bg21g21－槡1+ag1(g21－1))g21+g23+(1+g23)(g21+g23槡)[]槡．(40)图3具有三条裂纹的椭圆孔口图4非对称共线双裂纹的椭圆孔口Fig．3Anellipticalholewith3edgecracksFig．4Anellipticalholewith2unequaledgecracks情形2当d1→b时，此时g3→0，构型为具有非对称共线双裂纹的椭圆孔口，如图4所示．由式(39)可知，在裂纹尖端点z=c1处的应力强度因子为KσⅢ=ap槡π2g1(g1+g2)2(g21－1槡)［bg21g21－槡1+ag1(g21－1)］(g21+g1g2槡)．(41)①当c2→c1时，构型为对称共线双裂纹的椭圆孔口，如图5所示．由式(39)可知，在裂纹尖端点z=c1处的应力强度因子为KσⅢ=ap槡πg1g21－槡1bg21g21－槡1+ag1(g21－1槡)．(42)图5对称共线双裂纹的椭圆孔口图6带单裂纹的椭圆孔口Fig．5Anellipticalholewith2equaledgecracksFig．6Anellipticalholewithanedgecrack②当c2→a时，构型为带单裂纹的椭圆孔口，如图6所示．
【参考文献】：
期刊论文
[1]一维六方准晶的两类周期接触问题[J]. 马小丹,李星. 应用数学和力学. 2016(07)
[2]一维六方压电准晶中带三条不对称裂纹的圆形孔口的反平面问题（英文）[J]. 杨娟,李星,丁生虎. 工程数学学报. 2016(02)
[3]一维正方准晶中半无限裂纹问题的解析解[J]. 高健,刘官厅. 应用数学和力学. 2015(09)
[4]一维六方准晶中螺形位错与楔形裂纹的相互作用[J]. 李联和,刘官厅. 物理学报. 2012(08)
[5]一维正方准晶椭圆孔口平面弹性问题的解析解[J]. 于静,刘官厅. 固体力学学报. 2010(04)
[6]一维六方准晶中带三条不对称裂纹的圆形孔口问题的解析解[J]. 杨丽星,刘官厅. 数学的实践与认识. 2010(02)
[7]一维六方准晶中带双裂纹的椭圆孔口问题的解析解[J]. 郭俊宏,刘官厅. 应用数学和力学. 2008(04)
[8]一维六方准晶中具有不对称裂纹的圆形孔口问题的解析解[J]. 郭俊宏,刘官厅. 应用数学学报. 2007(06)
[9]十次二维准晶材料的接触问题(英文)[J]. 周旺民,范天佑. Journal of Beijing Institute of Technology（English Edition）. 2001(01)
[10]准晶的弹性、塑性与位错[J]. 丁棣华,王仁卉,杨文革,胡承正. 物理学进展. 1998(03)
本文编号：3061826
【文章来源】：应用数学和力学. 2019,40(02)北大核心
【文章页数】：13 页
【部分图文】：
一维正交准晶中带有四条不对称裂纹的椭圆孔口g.1FourcmckaoriginatingImmasellipticalholeembeddedis1DorthorhombicQCa;入方程(15)，再由条件(17)和(19)得:由于:;、二时，
e1=c1+c21－a2+b槡2a+b，e2=c2+c22－a2+b槡2a+b，f1=d1+d21+a2－b槡2a+b．(28)图2带四条裂纹的椭圆孔口外部到单位圆内部的保角映射Fig．2Conformalmappingfromtheouterregionofanellipticalholewith4edgecrackstotheinsideofaunitcircle将ζk平面的单位圆内部映射到zk平面内的区域Ωk，且ω－1k(c1)→1，ω－1k(－c2)→－1，ω－1k(d1i)→C，ω－1k(－d1i)→C1，如图2所示．记单位圆边界为r，取ζk=σ=eiθ，0≤θ≤2π，则Ωk上两个点被映射到单位圆上一个点，用Φ(0)k(ζk)表示ψ(0)k(zk)被映射后的函数．则式(23)和(24)可写为∑2k=1［Φ(0)k(σ)+Φ(0)k(σ)］=ap4·h(σ槡)σ，(29)∑2k=1［ηkΦ(0)k(σ)+ηkΦ(0)k(σ)］=0．(30)对式(29)和(30)两边同时乘以12πidσσ－ζk，ζk为单位圆内任意一点，然后沿边界r积分，由Cauchy(柯西)积分定理，得12πi∫rΦ(0)k(σ)σ－ζkdσ=Φ(0)k(ζk)，12πi∫rΦ(0)k(σ)σ－ζkdσ=0，12πi∫rh(σ槡)σ(σ－ζk)dσ=h(ζk槡)ζk－g21+g槡23+g22+g槡23ζk，(3
3讨论与结果当几何参数取极限时，可以得到一些特殊构型的应力强度因子的解析解，具体讨论如下．情形1当c2→a时，此时g2→1，构型为具有三条裂纹的椭圆孔口，如图3所示．由式(39)可知，在裂纹尖端点z=c1处的应力强度因子为KσⅢ=ap槡π2g12(g21－1槡)(1+g槡23+g21+g槡23)(bg21g21－槡1+ag1(g21－1))g21+g23+(1+g23)(g21+g23槡)[]槡．(40)图3具有三条裂纹的椭圆孔口图4非对称共线双裂纹的椭圆孔口Fig．3Anellipticalholewith3edgecracksFig．4Anellipticalholewith2unequaledgecracks情形2当d1→b时，此时g3→0，构型为具有非对称共线双裂纹的椭圆孔口，如图4所示．由式(39)可知，在裂纹尖端点z=c1处的应力强度因子为KσⅢ=ap槡π2g1(g1+g2)2(g21－1槡)［bg21g21－槡1+ag1(g21－1)］(g21+g1g2槡)．(41)①当c2→c1时，构型为对称共线双裂纹的椭圆孔口，如图5所示．由式(39)可知，在裂纹尖端点z=c1处的应力强度因子为KσⅢ=ap槡πg1g21－槡1bg21g21－槡1+ag1(g21－1槡)．(42)图5对称共线双裂纹的椭圆孔口图6带单裂纹的椭圆孔口Fig．5Anellipticalholewith2equaledgecracksFig．6Anellipticalholewithanedgecrack②当c2→a时，构型为带单裂纹的椭圆孔口，如图6所示．
【参考文献】：
期刊论文
[1]一维六方准晶的两类周期接触问题[J]. 马小丹,李星. 应用数学和力学. 2016(07)
[2]一维六方压电准晶中带三条不对称裂纹的圆形孔口的反平面问题（英文）[J]. 杨娟,李星,丁生虎. 工程数学学报. 2016(02)
[3]一维正方准晶中半无限裂纹问题的解析解[J]. 高健,刘官厅. 应用数学和力学. 2015(09)
[4]一维六方准晶中螺形位错与楔形裂纹的相互作用[J]. 李联和,刘官厅. 物理学报. 2012(08)
[5]一维正方准晶椭圆孔口平面弹性问题的解析解[J]. 于静,刘官厅. 固体力学学报. 2010(04)
[6]一维六方准晶中带三条不对称裂纹的圆形孔口问题的解析解[J]. 杨丽星,刘官厅. 数学的实践与认识. 2010(02)
[7]一维六方准晶中带双裂纹的椭圆孔口问题的解析解[J]. 郭俊宏,刘官厅. 应用数学和力学. 2008(04)
[8]一维六方准晶中具有不对称裂纹的圆形孔口问题的解析解[J]. 郭俊宏,刘官厅. 应用数学学报. 2007(06)
[9]十次二维准晶材料的接触问题(英文)[J]. 周旺民,范天佑. Journal of Beijing Institute of Technology（English Edition）. 2001(01)
[10]准晶的弹性、塑性与位错[J]. 丁棣华,王仁卉,杨文革,胡承正. 物理学进展. 1998(03)
本文编号：3061826
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