基于曲面主方向的正交系的非完整基理论及其在流体力学中的相关应用
发布时间：2021-07-13 03:54
本文将微分几何中光滑曲面上局部存在的基于主方向的正交系联系于张量分析中的非完整基理论,以此为曲面与其邻域上的张量场场论提供了一种新方法,称为基于曲面主方向的正交系的非完整基理论。这种场论方法,基于基面的沿主方向的参数坐标,然后沿基面的法方向进行空间延拓,以此获得基面邻域内的完整的正交系。对此引入非完整基理论,可得所有的非零Christoffel符号直接对应为基面或者当地曲面的主曲率或者测地曲率,因而张量场的各种微分算子相对于曲面的主方向与法方向展开,所得分量表达式仅含物理量与曲面曲率。由此不仅可以清晰地展现曲面几何特征与物理量/物理过程之间的关系,而且所获得的分量表达式形式上最为简单。另一方面,经典的诸如柱坐标系、球坐标系等正交系也隶属基于曲面主方向的正交系,从而本文方法可以统一相关正交系下的张量场场论。作为应用,本文推导了可变形曲面上涡量、涡量法向梯度与变形率张量的表达式,曲面上流体边界层方程的分量方程,曲面介质相关守恒律方程等。
【文章来源】：空气动力学学报. 2020,38(01)北大核心CSCD
【文章页数】：25 页
【部分图文】：
截面上投影曲线等同于以法曲率为曲率的圆周图１曲面上的曲线（ｂ）
）－ｒη（Ｓη）＝ΔＳηｅη＋１２κｇ，η（ΔＳη）２ｅξ＋１２λη（ΔＳη）２ｎ＋ｏ（（ΔＳη）２）烅烄烆式中ｒξ（Ｓξ）与ｒη（Ｓη）分别为ξ－线与η－线的弧长参数表示。由此，主曲率λη可以理解为η－线在ｅη对应的主法截面上的投影曲线所对应的曲率圆的曲率；测地曲率κｇ，η为η－线在切平面上的投影曲线所对应的曲率圆的曲率，如图２所示。类似地，主曲率λξ可以理解为ξ－线在ｅξ对应的主法截面上的投影曲线所对应的曲率圆的曲率；κｇ，ξ为ξ－线在切平面上的投影曲线所对应的曲率圆的曲率。图２主曲率与测地曲率的几何意义Ｆｉｇ．２Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃｍｅａｎｉｎｇｏｆｐｒｉｎｃｉｐａｌｃｕｒｖａｔｕｒｅｓａｎｄｇｅｏｄｅｓｉｃｃｕｒｖａｔｕｒｅｓ利用上述曲面主方向的单位正交基的运动方程，可以获得向量场物质导数的表达式。定理１．２曲面主方向单位正交基下向量场物质导数的表示。设ｂ为定义在质点上的向量值，其物质导数具有如下表达式ｄｂｄｔ＝ｄｅｂｄｔ＋Ω×ｂ式中ｄｅｂｄｔ为向量场相对于局部基的变化率，ｄｅｂｄｔ＝ｄｂ〈ξ〉ｄｔｅξ＋ｄｂ〈η〉ｄｔｅη＋ｄｂ〈ζ〉ｄｔｅζ；Ω定义为：Ω：＝ληＶ〈η〉ｅξ－λξＶ〈ξ〉ｅη＋（κｇ，ξＶ〈ξ〉－κｇ，ηＶ〈η〉）ｅζΩ可称为
，ζ）＝（１－ζλξ）ｇξ（ξ，η）珔ｇη（ξ，η，ζ）＝（１－ζλη）ｇη（ξ，η）珔ｇζ（ξ，η，ζ）＝ｎ（ξ，η）烅烄烆可见沿法向不同当地曲面的协变基向量｛珔ｇξ（ξ，η，ζ），珔ｇη（ξ，η，ζ）｝与基准曲面的协变基向量｛ｇξ（ξ，η），ｇη（ξ，η）｝保持平行，以此构成曲面及其邻域内的正交基，如图３所示。∑代表基面，∑ζ代表当地曲面，其沿法向偏离基准曲面∑的距离为ζ图３基于曲面主方向的正交系Ｆｉｇ．３Ｔｈｅｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｙｓｔｅｍｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｐｒｉｎｃｉｐａｌｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｓｕｒｆａｃｅ对完整的正交基｛珔ｇξ（ξ，η，ζ），珔ｇη（ξ，η，ζ）；ｎ（ξ，η）｝进行单位化，则获得非完整的单位正交基｛ｅ〈ξ〉，ｅ〈η〉，ｅ〈ζ〉｝。按完整基理论，可以计算得非自然为零的Ｃｈｒｉｓｔｏｆｆｅｌ符号，如下所示：珚Γ〈ξηξ〉＝１珚ｇ槡ηη?ｌｎ珚ｇ槡ξξ?η＝－珔κｇ，ξ珚Γ〈ηξη〉＝１珚ｇ槡ξξ?ｌｎ珚ｇ槡ηη?ξ＝－珔κｇ，η烅烄烆珚Γ〈ξζξ〉＝１珚ｇ槡ζζ?ｌｎ珚ｇ槡ξξ?ζ＝－珔λξ珚Γ〈ηζη〉＝１珚ｇ槡ζζ?ｌｎ珚ｇ槡η
【参考文献】：
期刊论文
[1]Vorticity vector-potential method based on time-dependent curvilinear coordinates for two-dimensional rotating flows in closed configurations[J]. 傅渊,张大鹏,谢锡麟. Journal of Hydrodynamics. 2018(02)
[2]Incompatible deformation field and Riemann curvature tensor[J]. Bohua SUN. Applied Mathematics and Mechanics（English Edition）. 2017(03)
[3]一般光滑曲面上的二类微分算子(英文)[J]. 谢锡麟. 复旦学报(自然科学版). 2013(05)
[4]Shape gradient and classical gradient of curvatures:driving forces on micro/nano curved surfaces[J]. 殷雅俊,陈超,吕存景,郑泉水. Applied Mathematics and Mechanics（English Edition）. 2011(05)
[5]非惯性非正交曲线坐标系中的边界层方程[J]. 孙茂. 航空学报. 1996(02)
本文编号：3281287
【文章来源】：空气动力学学报. 2020,38(01)北大核心CSCD
【文章页数】：25 页
【部分图文】：
截面上投影曲线等同于以法曲率为曲率的圆周图１曲面上的曲线（ｂ）
）－ｒη（Ｓη）＝ΔＳηｅη＋１２κｇ，η（ΔＳη）２ｅξ＋１２λη（ΔＳη）２ｎ＋ｏ（（ΔＳη）２）烅烄烆式中ｒξ（Ｓξ）与ｒη（Ｓη）分别为ξ－线与η－线的弧长参数表示。由此，主曲率λη可以理解为η－线在ｅη对应的主法截面上的投影曲线所对应的曲率圆的曲率；测地曲率κｇ，η为η－线在切平面上的投影曲线所对应的曲率圆的曲率，如图２所示。类似地，主曲率λξ可以理解为ξ－线在ｅξ对应的主法截面上的投影曲线所对应的曲率圆的曲率；κｇ，ξ为ξ－线在切平面上的投影曲线所对应的曲率圆的曲率。图２主曲率与测地曲率的几何意义Ｆｉｇ．２Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃｍｅａｎｉｎｇｏｆｐｒｉｎｃｉｐａｌｃｕｒｖａｔｕｒｅｓａｎｄｇｅｏｄｅｓｉｃｃｕｒｖａｔｕｒｅｓ利用上述曲面主方向的单位正交基的运动方程，可以获得向量场物质导数的表达式。定理１．２曲面主方向单位正交基下向量场物质导数的表示。设ｂ为定义在质点上的向量值，其物质导数具有如下表达式ｄｂｄｔ＝ｄｅｂｄｔ＋Ω×ｂ式中ｄｅｂｄｔ为向量场相对于局部基的变化率，ｄｅｂｄｔ＝ｄｂ〈ξ〉ｄｔｅξ＋ｄｂ〈η〉ｄｔｅη＋ｄｂ〈ζ〉ｄｔｅζ；Ω定义为：Ω：＝ληＶ〈η〉ｅξ－λξＶ〈ξ〉ｅη＋（κｇ，ξＶ〈ξ〉－κｇ，ηＶ〈η〉）ｅζΩ可称为
，ζ）＝（１－ζλξ）ｇξ（ξ，η）珔ｇη（ξ，η，ζ）＝（１－ζλη）ｇη（ξ，η）珔ｇζ（ξ，η，ζ）＝ｎ（ξ，η）烅烄烆可见沿法向不同当地曲面的协变基向量｛珔ｇξ（ξ，η，ζ），珔ｇη（ξ，η，ζ）｝与基准曲面的协变基向量｛ｇξ（ξ，η），ｇη（ξ，η）｝保持平行，以此构成曲面及其邻域内的正交基，如图３所示。∑代表基面，∑ζ代表当地曲面，其沿法向偏离基准曲面∑的距离为ζ图３基于曲面主方向的正交系Ｆｉｇ．３Ｔｈｅｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｙｓｔｅｍｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｐｒｉｎｃｉｐａｌｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｓｕｒｆａｃｅ对完整的正交基｛珔ｇξ（ξ，η，ζ），珔ｇη（ξ，η，ζ）；ｎ（ξ，η）｝进行单位化，则获得非完整的单位正交基｛ｅ〈ξ〉，ｅ〈η〉，ｅ〈ζ〉｝。按完整基理论，可以计算得非自然为零的Ｃｈｒｉｓｔｏｆｆｅｌ符号，如下所示：珚Γ〈ξηξ〉＝１珚ｇ槡ηη?ｌｎ珚ｇ槡ξξ?η＝－珔κｇ，ξ珚Γ〈ηξη〉＝１珚ｇ槡ξξ?ｌｎ珚ｇ槡ηη?ξ＝－珔κｇ，η烅烄烆珚Γ〈ξζξ〉＝１珚ｇ槡ζζ?ｌｎ珚ｇ槡ξξ?ζ＝－珔λξ珚Γ〈ηζη〉＝１珚ｇ槡ζζ?ｌｎ珚ｇ槡η
【参考文献】：
期刊论文
[1]Vorticity vector-potential method based on time-dependent curvilinear coordinates for two-dimensional rotating flows in closed configurations[J]. 傅渊,张大鹏,谢锡麟. Journal of Hydrodynamics. 2018(02)
[2]Incompatible deformation field and Riemann curvature tensor[J]. Bohua SUN. Applied Mathematics and Mechanics（English Edition）. 2017(03)
[3]一般光滑曲面上的二类微分算子(英文)[J]. 谢锡麟. 复旦学报(自然科学版). 2013(05)
[4]Shape gradient and classical gradient of curvatures:driving forces on micro/nano curved surfaces[J]. 殷雅俊,陈超,吕存景,郑泉水. Applied Mathematics and Mechanics（English Edition）. 2011(05)
[5]非惯性非正交曲线坐标系中的边界层方程[J]. 孙茂. 航空学报. 1996(02)
本文编号：3281287
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