解决SPH方法应力不稳定问题的改进方法
发布时间：2021-11-07 00:08
文章研究了光滑粒子流体动力学（smoothed particle hydrodynamics,SPH）方法中的应力不稳定问题,将改进的核函数和改进的动量方程的离散形式相结合,提出一种能同时改善压应力和拉应力不稳定性的方法。针对应力不稳定产生的原因,即应力不稳定性与应力状态和核函数有关,首先提出了一种改进的核函数来解决流体中的压应力不稳定问题,并将其应用到计算机图形学的流体模拟中,对二维和三维溃坝进行仿真实验,并与其他方法进行比较,结果表明,该方法的稳定性和模拟效率都有明显提高。为了同时改善压应力和拉应力的不稳定性,对动量方程的离散形式进行改进,把拉伸状态下的吸引力转化为排斥力,使得排斥力随粒子间距减小而增大,避免了原先吸引力造成的粒子聚集现象,有效改善了拉应力不稳定性。二维液滴在受到表面张力作用下形变的仿真实验效果验证了文中方法能使液滴粒子分布更均匀,稳定性大大提高。
【文章来源】：合肥工业大学学报(自然科学版). 2019,42(11)北大核心
【文章页数】：9 页
【部分图文】：
图１Ｂ－ｓｐｌｉｎｅ核函数图像
ｈ、１５／（７πｈ２）、３／（２πｈ３）。Ｂ－Ｓｐｌｉｎｅ核函数图像如图１所示。图１Ｂ－ｓｐｌｉｎｅ核函数图像由（１２）式可知，不稳定性的判断涉及核函数Ｗ的二阶导数，如图１所示，若核函数Ｗ的二阶导数为负，则ＳＰＨ方法出现的是压缩不稳定，而拉伸稳定；若Ｗ的二阶导数为正，则ＳＰＨ方法出现的是拉伸不稳定，而压缩稳定。应力不稳定分为压应力不稳定和拉应力不稳定。本文以常见的钟型核函数为例，其中Ｂ－ｓｐｌｉｎｅ核函数的一阶导数图像如图２所示。图２Ｂ－ｓｐｌｉｎｅ核函数的一阶导数图像（１）压应力不稳定。当（１１）式中应力项ｆｐ小于０时，压强为正，流体处于压缩状态，粒子间表现压应力，即排斥力。根据流体的压缩性特征，压缩状态下粒子间的排斥力应随着距离的增大而减校而钟型核函数，压缩状态下伴随着粒子间距逐渐增大时，排斥力会先增大后减小，粒子在压缩失稳区会因为排斥力逐渐增大而导致粒子分散。（２）拉应力不稳定。当（１１）式中应力项ｆｐ大于０时，压强为负，流体处于拉伸状态，粒子间表现为拉应力，即吸引力。根据流体的表面张力特征，拉伸状态下粒子间的吸引力随着距离的增大而增大。钟型核函数在拉伸状态下伴随粒子间距离逐渐增大时，拉应力会先增大后减小，在粒子进入拉伸失稳区域后会因为拉应力不足而导致粒子向拉力反方向聚集。因此，为了解决传统ＳＰＨ方法中的应力不稳定问题，还必须保证压缩状态下的排斥力只随粒子间的距离增大而减小，而拉伸状态下的拉应力只随着粒子间的距离增大而增大。２应力不稳定处理２．１压应力不稳定的处理对于一般流体力学问题，由于流体不能
导数非负的三次样条核函数：Ｗ（ｓ，ｈ）＝αｄ（ｓ３－６ｓ＋６），０≤ｓ＜１；αｄ（２－ｓ）３，１≤ｓ＜２；０，２≤烅烄烆ｓ（１４）其中，αｄ在一维、二维三维空间中的取值分别为１／（７ｈ）、１／（３πｈ２）、１５／（６２πｈ３）。改进的三次样条核函数图像如图３所示［１８］。图３改进的三次样条核函数图像由图３可知，核函数（１４）式与传统ＳＰＨ方法常用的钟型核函数不同，它属于双曲型核函数；该函数的一阶导数单调增加，且二阶导数非负。在压缩状态下，粒子之间的作用力为排斥力，因此当粒子相互靠近时，排斥力增大，从而消除了压应力不稳定性。然而，该核函数的二阶导数是分段线性函数，不是光滑的，在分段处容易出现计算波动，稳定性较低。文献［２５］提出了一种Ｗｅｎｌａｎｄ函数，该函数的二阶导数是光滑的，文献［２６］引入该函数作为核函数，形式如下：Ｗ（ｓ，ｈ）＝αｄ［１－ｓ／２］４（２ｓ＋１），０≤ｓ＜２（１５）其中，αｄ在二维和三维空间中的取值分别为７／（４πｈ２）、２１／（１６πｈ３）。Ｗｅｎｌａｎｄ函数图像如图４所示。图４Ｗｅｎｌａｎｄ核函数图像由图４可知，（１５）式的二阶导数光滑，因此计算波动较小，稳定性较好。但由不稳定性的（１２）式可知，该核函数不能够解决应力不稳定问题。文献［２２］提出一种改进的Ｑｕｉｎｔｉｃ核函数，用来处理压应力的稳定性，函数形式为：Ｗ（ｓ，ｈ）＝αｄ１－ｓ（）２４３４ｓ＋（）１，?Ｗ（ｓ，ｈ）?
【参考文献】：
期刊论文
[1]基于SPH-FE方法的波浪中结构物动力特性模拟研究[J]. 杨熠琳,李天. 北京交通大学学报. 2018(03)
[2]一种SPH应力修正算法及自由表面流中的应用[J]. 王志超,李大鸣,胡永文. 计算力学学报. 2017(01)
[3]光滑粒子动力学SPH方法应力不稳定性的一种改进方案[J]. 杨秀峰,刘谋斌. 物理学报. 2012(22)
[4]固体介质中SPH方法的拉伸不稳定性问题研究进展[J]. 傅学金,强洪夫,杨月诚. 力学进展. 2007(03)
[5]光滑粒子法中的一种新的核函数[J]. 张刚明,王肖钧,胡秀章,周钟. 爆炸与冲击. 2003(03)
本文编号：3480778
【文章来源】：合肥工业大学学报(自然科学版). 2019,42(11)北大核心
【文章页数】：9 页
【部分图文】：
图１Ｂ－ｓｐｌｉｎｅ核函数图像
ｈ、１５／（７πｈ２）、３／（２πｈ３）。Ｂ－Ｓｐｌｉｎｅ核函数图像如图１所示。图１Ｂ－ｓｐｌｉｎｅ核函数图像由（１２）式可知，不稳定性的判断涉及核函数Ｗ的二阶导数，如图１所示，若核函数Ｗ的二阶导数为负，则ＳＰＨ方法出现的是压缩不稳定，而拉伸稳定；若Ｗ的二阶导数为正，则ＳＰＨ方法出现的是拉伸不稳定，而压缩稳定。应力不稳定分为压应力不稳定和拉应力不稳定。本文以常见的钟型核函数为例，其中Ｂ－ｓｐｌｉｎｅ核函数的一阶导数图像如图２所示。图２Ｂ－ｓｐｌｉｎｅ核函数的一阶导数图像（１）压应力不稳定。当（１１）式中应力项ｆｐ小于０时，压强为正，流体处于压缩状态，粒子间表现压应力，即排斥力。根据流体的压缩性特征，压缩状态下粒子间的排斥力应随着距离的增大而减校而钟型核函数，压缩状态下伴随着粒子间距逐渐增大时，排斥力会先增大后减小，粒子在压缩失稳区会因为排斥力逐渐增大而导致粒子分散。（２）拉应力不稳定。当（１１）式中应力项ｆｐ大于０时，压强为负，流体处于拉伸状态，粒子间表现为拉应力，即吸引力。根据流体的表面张力特征，拉伸状态下粒子间的吸引力随着距离的增大而增大。钟型核函数在拉伸状态下伴随粒子间距离逐渐增大时，拉应力会先增大后减小，在粒子进入拉伸失稳区域后会因为拉应力不足而导致粒子向拉力反方向聚集。因此，为了解决传统ＳＰＨ方法中的应力不稳定问题，还必须保证压缩状态下的排斥力只随粒子间的距离增大而减小，而拉伸状态下的拉应力只随着粒子间的距离增大而增大。２应力不稳定处理２．１压应力不稳定的处理对于一般流体力学问题，由于流体不能
导数非负的三次样条核函数：Ｗ（ｓ，ｈ）＝αｄ（ｓ３－６ｓ＋６），０≤ｓ＜１；αｄ（２－ｓ）３，１≤ｓ＜２；０，２≤烅烄烆ｓ（１４）其中，αｄ在一维、二维三维空间中的取值分别为１／（７ｈ）、１／（３πｈ２）、１５／（６２πｈ３）。改进的三次样条核函数图像如图３所示［１８］。图３改进的三次样条核函数图像由图３可知，核函数（１４）式与传统ＳＰＨ方法常用的钟型核函数不同，它属于双曲型核函数；该函数的一阶导数单调增加，且二阶导数非负。在压缩状态下，粒子之间的作用力为排斥力，因此当粒子相互靠近时，排斥力增大，从而消除了压应力不稳定性。然而，该核函数的二阶导数是分段线性函数，不是光滑的，在分段处容易出现计算波动，稳定性较低。文献［２５］提出了一种Ｗｅｎｌａｎｄ函数，该函数的二阶导数是光滑的，文献［２６］引入该函数作为核函数，形式如下：Ｗ（ｓ，ｈ）＝αｄ［１－ｓ／２］４（２ｓ＋１），０≤ｓ＜２（１５）其中，αｄ在二维和三维空间中的取值分别为７／（４πｈ２）、２１／（１６πｈ３）。Ｗｅｎｌａｎｄ函数图像如图４所示。图４Ｗｅｎｌａｎｄ核函数图像由图４可知，（１５）式的二阶导数光滑，因此计算波动较小，稳定性较好。但由不稳定性的（１２）式可知，该核函数不能够解决应力不稳定问题。文献［２２］提出一种改进的Ｑｕｉｎｔｉｃ核函数，用来处理压应力的稳定性，函数形式为：Ｗ（ｓ，ｈ）＝αｄ１－ｓ（）２４３４ｓ＋（）１，?Ｗ（ｓ，ｈ）?
【参考文献】：
期刊论文
[1]基于SPH-FE方法的波浪中结构物动力特性模拟研究[J]. 杨熠琳,李天. 北京交通大学学报. 2018(03)
[2]一种SPH应力修正算法及自由表面流中的应用[J]. 王志超,李大鸣,胡永文. 计算力学学报. 2017(01)
[3]光滑粒子动力学SPH方法应力不稳定性的一种改进方案[J]. 杨秀峰,刘谋斌. 物理学报. 2012(22)
[4]固体介质中SPH方法的拉伸不稳定性问题研究进展[J]. 傅学金,强洪夫,杨月诚. 力学进展. 2007(03)
[5]光滑粒子法中的一种新的核函数[J]. 张刚明,王肖钧,胡秀章,周钟. 爆炸与冲击. 2003(03)
本文编号：3480778
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