对球坐标系质点加速度的理解与严格推导

图1极坐标系中的坐标变量与基矢

其中eρ、eθ分别是质点位矢方向单位矢量和垂直于位矢并沿极角增大方向的单位矢量(如图1所示).这可以理解为质点沿着极径的速度(仅ρ变化)和垂直极径的速度(仅θ变化)的合成.我们可以用同样的思路从直观上理解加速度.我们采用如下“运动分解”思想,即令一个坐标固定而另一个改变:若固定θ....

图2球坐标系中的坐标变量与基矢

要写出球坐标系中的质点加速度表达式,首先要明确球坐标中的各个坐标变量和对应的基矢.如图2所示[2],球坐标系的3个位置参数分别为:距离r、极角θ和方位角φ,与其对应的基矢为er、eθ、eφ.利用“运动分解”的思想,我们固定其任意两个位置参数,令第三个变化,其轨迹形成坐标曲线.例如....

图3θ坐标曲线平面图

由r变化形成的射线,质点沿其上运动具有加速度r¨er;由θ变化形成的经线,质点沿其上运动可认为是圆周运动,具有向心加速度-rθ?2er和经线切向加速度rθ¨eθ.例如图3是由θ变化形成的坐标曲线的平面示意图.根据极坐标系中的经验,此时还应当补充....

图4φ坐标曲线俯视图

取此球坐标系的俯视图,即在图2中自上向下观察,得到图4.这代表质点P正在以r′=rsinθ为半径作圆周运动.即此质点具有向心加速度-r′φ?2er′和切向加速度r′φ¨eφ.图3中给出了er′与er、eθ的关系,将er′用er、eθ表示为