基于Cachazo-He-Yuan形式设计的微分算符

发布时间：2020-07-07 17:52

【摘要】：量子场论中的散射振幅研究广受国内外理论物理学者关注,该领域在近年来取得了一系列突破性进展。本论文立足于这一背景,主要关注散射振幅领域内的两个热点论题,即散射振幅的Cachazo-He-Yuan 形式(以下简称 CHY 形式)和 Bem-Carrasco-Johansson 分子(以下简称 BCJ分子)。本论文的主要目标是建立系统的、理论无关的方法解答该论题中的两个重要问题:1、如何通过计算CHY形式在散射方程的解上的数值而得到对应的散射振幅或圈图中的散射振幅圈积分因子;2、如何结合散射振幅的CHY形式构造其对应的BCJ分子。我们首先设计一个用于计算亚纯形式在孤立极点上的多维留数的微分算符,这些孤立极点由一组多复变齐次多项式方程的解给出。通过对大量例子的解析或数值分析,我们假定该微分算符可被代数几何中的局域对偶定理和齐次多项式的交点数要求唯一确定。我们将这一微分算符应用于计算(推广后的)CHY形式中。为了使所要计算的留数满足上述关于微分算符的拟设,我们将原本由有理函数表达的散射方程转换成齐次多项式方程。下一步我们通过详细研究多项式形式的散射方程的组合性质而进一步提升这一方法的效率。结合多项式散射方程的良好组合性质,我们为上述微分算符中需要由求解局域对偶定理和交点数要求而得的待定参数设计了一种类似于杨图的图表表示,并将关注点集中于CHY形式中频繁出现的一类多维复变积分上(我们将这一类CHY积分统称为“适宜形式”)。利用待定参数的图表表示,适宜形式所对应的微分算符可以被解析地求解,于是所有满足适宜形式的CHY积分都可以被解析计算。最后,我们引入“简化矩阵”并完成关于CHY形式计算问题的讨论。在这一阶段,我们主要考虑树图阶的散射方程和CHY形式。观察可知,在求解完与多项式散射方程所对应的局域对偶定理条件后,上述微分算符中独立待定参数的数目总是一定的,仅与CHY形式的复变量数目(即散射振幅的外线数目)有关。基于这一结果,我们引入简化矩阵的概念,并说明只要树图散射振幅的CHY形式是因子化的(这一条件在CHY形式已知的理论中总是满足的),任意这样的CHY形式都可以被简化矩阵化归到某一适宜形式,最终能被直接计算。基于色序振幅的CHY形式表示,我们将上述方法应用到相应的树图BCJ分子的构造中。一般来说,树图BCJ分子可由将其所对应的色序振幅分解到最小基上得到;在CHY形式的语境中,这一过程即为将色序振幅的CHY形式分解到最小基中矢量所对应的类CHY形式的多复变积分上。利用前述微分算符,我们将这一分解过程转化为将CHY形式对应的微分算符分解到由最小基矢量所对应的微分算符所构成的基上。结合简化矩阵化简方法,微分算符的分解可以很容易地被得到。我们在本论文中提出、讨论的方法完全是理论无关的,适用于任何理论中的CHY形式,这些方法也应当能够被直接推广到(更)高圈的CHY形式的计算处理上。
【学位授予单位】：南京大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O411

【相似文献】