二面体群凯莱图上的离散量子行走模型研究与分析

发布时间：2020-07-10 03:20

【摘要】：本文以离散量子行走模型为主要研究对象,研究了二面体群上的离散量子行走。因为群是一个抽象的概念,而凯莱图作为群的图形化表示,是利用群论机制研究量子行走的一种方便手段,所以本文研究并分析了二面体群凯莱图上的离散量子行走模型,包括无记忆量子行走模型、有记忆量子行走模型,以及三态量子行走模型。论文的具体内容如下:第一,针对由图形的旋转和反射生成的有限二面体群,根据群元素的特征,通过特殊的编码模式构建了二面体群凯莱图上的无记忆离散量子行走模型,并且利用傅里叶变换进行分析。研究发现了二面体群凯莱图上的无记忆量子行走与环上的一步记忆量子行走之间的等价关系,并给出了硬币算子中参数对量子行走演化算子影响的矩阵形式。此外,利用数值模拟方法研究了量子行走的基本概率性质。第二,基于所提出的二面体群凯莱图上的无记忆离散量子行走模型,通过增加一步记忆构建了二面体群凯莱图上的有记忆离散量子行走模型,并且利用傅里叶变换进行分析,给出了概率分布和时间平均概率分布的具体形式。鉴于正则图上的有记忆量子行走与其对应线图上的无记忆量子行走之间的联系,给出了二面体群凯莱图上的一步记忆量子行走的图形化表示。此外,利用数值模拟方法研究了量子行走的基本概率性质。进一步地,针对线、环和二面体群的凯莱图,讨论了无记忆量子行走与有记忆量子行走之间的异同。第三,基于所提出的二面体群凯莱图上的无记忆离散量子行走模型,通过将硬币算子由二维酉矩阵扩展到三维酉矩阵构建了二面体群凯莱图上的三态量子行走模型,并且利用傅里叶变换进行分析。此外,利用数值模拟方法研究了量子行走的基本概率性质。进一步地,针对线、环和二面体群的凯莱图,讨论了二态量子行走与三态量子行走之间的异同。综上,本文围绕二面体群凯莱图上的离散量子行走开展了一系列研究工作,进一步拓展了非阿贝尔群凯莱图上的量子行走的理论研究。
【学位授予单位】：南京航空航天大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2019
【分类号】：O157.5;O413
【图文】：

二面体群,凯莱图

（a）5D （b）8D图 2.1 二面体群的凯莱图文献[64]给出下面线图的定义，用于研究正则图上的通用量子有记忆行走模型。定义 2.12 设 G (V , E)表示一个有向图，其点集为 V (G )，边集为 E (G )。有向图G 的线图为LG。LG的点集为 E (G )；对于 , , , ( )a b c dx x x x V G， , , , ( )a b c dx x x x E LG当且仅当, bx 和 , c dx x 都在 E (G )中，且b cx x。LG的线图标记为 2L G。类似的，对于d N ，有dL G。定义 2.13 离散傅里叶变换是傅里叶变换中的一种。离散傅里叶变换将函数f n （n 为“时间”变量）变换为连续的周期频谱 iwF e 。令 f : 是整数上的一个复函数，则它散傅里叶变换是一个由式 iw inwnF e e f n 给出的连续函数f : , ，它的逆叶变换为 = 1 2inw iwf n e F e dw 。在傅里叶分析中，离散傅里叶变换通常为 iknnf k e f n (2.11)逆傅里叶变换为 1=2iknf n e f k dk (2.12

凯莱图,二面体群

（a）4D 的凯莱图（b）4D 凯莱图的标准编码图 3.1 二面体群的凯莱图及其对应的标准编码1.3 数学模型鉴于由图形的旋转和反射生成的有限二面体群，每个顶点具有两个方向，即C SU 2 ，中SU 2 是行列式为 1 的2 2酉矩阵构成的集合。离散量子行走的硬币希尔伯特空间2CH 由 0 , 1 张成，基态的矩阵形式如下：1 00 , 10 1C C (3.3)面体群凯莱图的边可以由附加到顶点集寄存器的辅助寄存器编码为 direction vertex ，即0 0 , , 1 1 , 0 0 , , 1 1RFE R R N F F N (3.4)移算子 S定义为 0 0 1 , 0 1 , C CC CS R j R jS F j F j

线图,线图,离散量,二面体群

（a）原图 4-环（b） 4-环的线图 LG图 3.2 原图与其对应的线图图 3.2（a）给出了 4-环的原图 G (V , E )，（b）给出了一个线图的例子，也就是 G (V , E )的线图，即 LG 。从图论的角度来看，图 3.2（b）和图 3.1（a）是同构的，即 4-环上的一步记忆量子行走对应的图与二面体群4D 凯莱图上的无记忆量子行走对应的图同构。类似地，由LG 表示的 N-环上的线图和二面体群ND 的凯莱图是同构的。从这个角度来看，二面体群ND 的凯莱图上的无记忆量子行走和 N-环上的一步记忆量子行走是等价的。3.3 硬币算子中参数对量子行走演化算子的影响沿着线上的离散量子行走和 N-环上的离散量子行走的研究思路[30]，研究硬币算子中参数对二面体群ND 凯莱图上的离散量子行走演化算子的影响。粒子位置为 s mod 2 ,t modN 。对于傅里叶空间的量子行走仍然适用。粒子的有限状态空间是离散的，通过特殊的编码方式，有限动量空间定义为 120, , ,Nikn NN N Nnk t e n t k (3.35)这与 N-环上的离散量子行走有密切关系。对于 N-环上的离散量子行走，利用硬币转移矩阵的一

【相似文献】