带有奇异性的Airy振荡积分的高斯求积公式

发布时间：2020-10-29 08:25

　　在物理学研究中,Airy函数的应用已经相当普遍,比如在电磁衍射与传播、量子力学、光学等问题中,如何对其中涉及到的一些与Airy函数相关的问题进行有效的数值计算就显得非常重要。由于Airy函数的振荡性质,对于无穷区间上的Airy积分,利用传统的数值积分方法比如Gauss型求积法则或基于多项式插值的求积方法,即使使用数量巨大的求积节点,计算精度还是会随着振荡频率的增大而逐渐丢失,难以取得较好的计算结果。因此,本文的主要目的是研究一类无穷区间上带有奇异性的Airy振荡积分的高斯求积公式。第一章简述了 Airy振荡函数与相关积分变换的定义与应用背景,然后列举了振荡积分的应用以及研究现状。第二章推导了一类非负权函数w(z)=z_μK_v(z~(2/3))的高斯求积公式,介绍了计算求积公式中节点与权的两种方法。第一种是利用正交多项式性质解方程组的方法。第二种是基于修正切比雪夫算法,得到关于权函数首一正交的多项式的三项递推系数,构造Jacobi矩阵,矩阵的特征值即求积公式中的节点,权可由矩阵的特征向量表示。第三章,主要讨论了具有如下形式无穷区间上带有奇异性的Airy振荡积分的计算(?)将该积分划分为非振荡与振荡两个部分,考虑两者的计算。在第二章的基础上,利用Airy函数与两类Bessel函数的关联公式,分别给出两部分的高斯求积公式与误差项,从而得到计算上述积分的求积公式。方法的有效性通过数值实验进行了测试,实验结果表明,利用求积公式计算得到的绝对误差与理论分析一致。
【学位单位】：华中科技大学
【学位级别】：硕士
【学位年份】：2019
【中图分类】：O411
【文章目录】：
摘要
Abstract
1 绪论
    1.1 研究背景
    1.2 振荡积分研究现状
2 Gauss型求积公式节点与权的计算
    2.1 引言
    2.2 一类非负权函数的Gauss型求积公式
    2.3 解方程组法
    2.4 修正切比雪夫算法
    2.5 算法结果
3 带有奇异性的Airy振荡积分的高斯求积公式
    3.1 引言
    3.2 带有奇异性的非振荡Airy积分的计算
    3.3 带有奇异性的振荡Airy积分的计算
4 总结与展望
致谢
参考文献

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