第三陈类的descent方程及其解

发布时间：2020-11-05 14:46

　　 Chern-Simons形式最初是由陈省身和J.H.Simons在[1]文中提出,对于规范理论的发展起到重要作用.在数学中,Chern-Simons形式也就是Chern-Simons第二特征类.Descent方程在特征类理论的学习中占有非常重要的地位,并在理论物理领域有着深刻的应用,比如Chern-Simons场论和反常理论.Chern-Simons 第二特征类与Chern-Simons特征多项式有着密切的关系.在部分文献中③ Chern-Simons特征多项式也叫做不变多项式.P = tr(F∧F)为第二陈类,这里F是曲率2-形式,P为不变多项式,那么由第二陈类出发的descent方程可以写作△Q2(k-1)(A0,…,Ak;(?)△k)=dQ2(k)(A0,…,Ak;△k),k=1,2[2],这里A是联络1-形式,△上边缘算子,d是通常意义下的外微分算子.也就是说,kc维Chern-Simons上链的上边界恰好等于kc + 1维Chern-Simons上链的外微分,它们在有关反常的一系列问题上有着重要的应用.由于原始定义的限制,当kk = 2时取到方程的最低次解.所以,这里方程的阶数最低只能取到2次,其中微分形式的解也只有4次,3次和2次,并没有1次和0次解.在A.Alekseev,F.Naef,X.M.Xu和C.C.Zhu的文章[3]中,作者利用Lie理论中的Kashiwara-Vergene第一方程的解及其伴随子(associators)与descent方程的解之间的关系,给出了由第二陈类出发的descent方程之前所没有的的1次解和0次解,将方程的解完备化.这一过程只将由第二陈类出发的descent方程进行了扩张,并给出了方程的解,但对更高的维数的descent方程并没有进行讨论.P ∧ =t(F ∧ F)是第三陈类,第三陈类的出发的descent方程为△Q3(k-1)(A0,…,Ak;(?)△k)=dQ3(k)(A0,…,Ak;△k),k= 1,2,3[2],由此可知,在原有定义下从第三陈类出发的descent方程的项最低只能降到3次,并没有2次、1次和0次项的表达式.本文的主要工作是从另一种途径入手,从P=tr(F∧F∧F),即对从第三陈类的出发的descent方程进行降次扩张,得到不同于[3]的ω1和ω0的解,并给出方程全部解的表达式.主要方法是借助Kashiwara-Vergene理论,在自由李代数Lien上定义其代数包络Assn,并在自由李代数包络的基础上定义一个新的复形空间Ωx1,…,xn],给出定义在这个复形空间上的微分算子d和上边缘算子δ.在此基础上,将descent方程中的各解项定义在这个新的复形空间上给出descent方程的新的表达式,完成由第三陈类出发的descent方程的降次扩张,并给出其各阶解的具体表达式,特别是另一种1次项ω1和0次项ω0不同于[3]的构造.可以验证的是,这种构造ω0和ω1的方法适用于各阶descent方程.
【学位单位】：河南大学
【学位级别】：硕士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O411
【文章目录】：
摘要
ABSTRACT
第一章 引言
    1.1 研究背景
    1.2 本文的主要工作
    1.3 论文结构
第二章 Chern-Simons特征类和descent方程
    2.1 不变多项式及Chern-Simons特征类
    2.2 任意维数的descent方程
    2.3 规范变换后的descent方程
0和ω₁'>第三章 由Kashiwara-Vergene理论构造ω₀和ω1

    3.1 Kashiwara-Vergene理论
        3.1.1 基于自由李代数构造复形空间
        3.1.2 切导子空间
        3.1.3 单形映射和上积映射
0和ω₁的构造'>    3.2 ω₀和ω₁的构造
    3.3 规范变换后第三陈类的descent方程的全部解
    3.4 高维数descent方程的降次扩张及求解
第四章 总结与展望
参考文献
致谢

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本文编号：2871784

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