等离子体量子流体力学方程及其相关模型的适定性及渐近极限研究

发布时间：2020-11-20 09:39

　　 本文主要研究等离子体物理中的量子流体力学模型及其相关模型的定性理论和渐近极限.研究这些偏微分方程组可以为材料科学、航空航天、核能、微电子技术、现代物理学等应用研究提供一定的理论依据.本文主要分为以下七个章节.第一章,绪论.就本课题的研究背景、相关的模型以及发展现状作了详细介绍.之后介绍了本文的结构以及本文所使用的数学符号.第二章,考虑了全空间3?中具有好初值的非等熵量子Navier-Stokes-Poisson(FQNSP)系统的拟中性极限.我们得到,当德拜长度趋于零时,可压的FQNSP系统趋向于不可压的Navier-Stokes方程.为了从数学上严格证明此极限,我们需给出关于德拜长度一致的能量估计.在处理能量估计的过程中,由于动量方程和能量方程中的量子效应项,我们必须处理更高阶的空间导数,并且需要得到合适的先验估计和能量模.最后,通过深入分析该模型的结构以及利用渐近匹配技巧,我们在本章节中严格地学习了可压的FQNSP系统的拟中性渐近行为.第三章,继续研究了环3T中可压的带有热传导的量子Navier-Stokes-Maxwell(FQNSM)系统的拟中性极限,该模型是由Navier-Stokes方程与Maxwell方程通过洛伦磁力的强耦合作用而得到的一个复杂模型.首先通过充分利用方程的结构,旋度散度分解以及Maxwell方程的波形式,我们得到了关于误差函数的封闭能量估计.进而在好初值的框架下,严格证明了可压的FQNSM系统到不可压的e-MHD系统的收敛性.对于一般的初值,基于多尺度渐近展开、奇异扰动理论以及次线性增长条件,我们进一步证明了,当德拜长度趋于零时,可压的FQNSM系统的解收敛到不可压e-MHD系统的解加强振荡的速度场和电场.第四章,作为拟中性极限问题的系列工作,我们在好初值的情形下研究了三维双极等熵Euler-Maxwell系统的拟中性极限.根据形式渐近展开、旋度散度分解、迭代方法以及紧定理,我们得到了关于误差函数的封闭能量估计,进而严格证明了在可压的Euler方程解的存在时间范围内,双极Euler-Maxwell系统的解收敛到可压的Euler方程的解.第五章,讨论了一类常压的等离子体磁流体波的长波长极限,利用奇异扰动理论以及Gardner-Morikawa变换,我们严格从该磁流体波的长波长近似中推导出Korteweg-de Vries(Kd V)方程.我们证明,当Gardner-Morikawa变换的尺度趋于零时,在非常长的一段时间内,该磁流体波的解收敛到Kd V方程的解.第六章,研究了带有阻尼的无粘的非等熵量子流体动力学模型解的存在性问题.在第一部分,我们考虑了该量子模型的时间周期解的存在性.在外力的一些小性和周期性假设下,我们根据Leray-Schauder理论、一致的能量估计以及取极限的方法,得到了原系统在具有周期边界的有界区域中时间周期解的存在性.最后基于对角线法则和关于区域的一致能量估计,我们将该时间周期解延伸到全空间中.在第二部分,我们讨论了该量子模型的初边值问题.这里我们采用的是绝缘边界条件.通过精细的能量方法,我们在小初值以及密度和温度的正性假设下,严格证明了相应扰动系统的一致先验估计.最后,基于局部存在性理论和经典的连续性方法,我们得到了扰动初边值问题整体解的存在性.第七章,我们概括和总结了本文的主要结果以及介绍了我们今后的研究问题。
【学位单位】：重庆大学
【学位级别】：博士
【学位年份】：2018
【中图分类】：O35;O53
【文章目录】：
摘要
Abstract
1 绪论
    1.1 问题的研究背景及发展现状
        1.1.1 等离子体与经典流体力学模型
        1.1.2 量子等离子体与量子流体力学模型
        1.1.3 量子流体力学模型及其相关模型解的存在性结果
        1.1.4 德拜屏蔽与拟中性极限
        1.1.5 浅水波模型与长彼长极限
    1.2 本文的主要研究内容
    1.3 本文使用的符号
2 非等熵的量子Navier-Stokes-Poisson系统的拟中性极限
    2.1 问题介绍与主要结果
    2.2 形式展开和本章节主要定理
    2.3 误差估计与定理2.2.3的证明
3 非等熵的量子Navier-Stokes-Maxwell系统的拟中性极限
    3.1 引言
    3.2 具有好初值的FQNSM系统的拟中性极限
        3.2.1 形式展开与余项方程组（3.9）的推导
        3.2.2 余项方程组解的局部存在性
    3.3 系统（3.9）的一致误差估计与定理3.1.1的证明
    3.4 有初始层的FQNSM系统的拟中性极限
        3.4.1 不可压的内函数系统
        3.4.2 次线性增长条件与内函数以及一阶初始层函数的形式推导
        3.4.3 二阶初始层函数的形式推导
        3.4.4 误差函数的推导以及定理3.1.2的证明
4 双极的等熵Euler-Maxwell系统的拟中性极限
    4.1 形式渐近展开与主要结论
    4.2 余项方程组（4.12）的一致能量估计
    4.3 定理4.1.3的证明
5 常压的磁流体波的长波长极限
    5.1 问题介绍与主要结果
    5.2 形式渐近展开与本章节的主要定理
    5.3 定理5.2.3的证明
6 带有阻尼的量子流体动力学模型解的存在性
    6.1 时间周期解的存在性
        6.1.1 问题介绍与主要结果
        6.1.2 逼近系统的构造
        6.1.3 定理6.1.2.1的证明
        6.1.4 定理6.1.1.1的证明
    6.2 有界空间中解的整体存在性
        6.2.1 问题介绍与主要结果
        6.2.2 一致能量估计
        6.2.3 定理6.2.1.1的证明
7 本文的总结与展望
致谢
参考文献
附录
    A 作者在攻读博士学位期间完成的论文目录
    B 作者在攻读博士学位期间参加科研项目


本文编号：2891224