求解大规模离散不适定问题的Krylov迭代正则化算法

发布时间：2021-03-08 01:30

　　不适定问题是相对于数学物理方程（正问题）提出的,根据实际物理问题建立适当的数学模型而产生的一个热门研究领域。不适定问题在物性探测、气象预报和图像恢复等领域都有广泛的应用。基于现有的相关研究成果,本文研究求解离散不适定问题的Krylov迭代正则化算法。论文主要包括以下内容:首先,基于正交投影算子,将原问题的广义形式转化为标准形式,再结合Fractional Tikhonov方法提出投影Fractional Tikhonov正则化算法。其次,基于矩阵扰动和特征向量收缩的相关理论,提出一种正交投影算子的选取方法。最后,对于大规模离散问题,将原问题投影到Krylov子空间后运用投影Fractional Tikhonov正则化算法,提出Arnoldi-投影Fractional Tikhonov正则化算法,进一步提出限制值域的Arnoldi-投影Fractional Tikhonov正则化算法。论文针对上述新算法做了数值试验,并和已有的相关算法进行了对比。数值试验表明本文提出的算法是可行且有效的。 

【文章来源】：南京航空航天大学江苏省 211工程院校

【文章页数】：50 页

【学位级别】：硕士

【部分图文】：

通过不同正则化方法恢复的Lena图像

(e)2L L恢复后的图像(f) L D恢复后的图像图 4.1 通过不同正则化矩阵恢复的 Lena 图像从上面四个恢复的图像可以看出，图(c)是最模糊的，图(d)和图(e)清晰度相近，(f)的图像清晰，且和原始图像最为接近，这说明基于特征向量收缩的正交投影算子作为正则化矩阵是效的，且在一定程度上具有优势。

(c) v 1/100时shaw恢复结果 (d) v 1/1000时shaw恢复结果图 5.1 不同水平的 , shaw 恢复结果从图中可以看出，APFT 方法得到的近似解可以很好地逼近精确解，说明 APFT 正则化方法是有效的。例 5.2 考虑第一类 Fredholm 积分方程 , baK s t f t dt g s , c s d 的离散化。求解线性方程组 Ax b，其中系数矩阵 A 取 baart、shaw、phillips 、foxgood 和 gravity等 6 类矩阵，阶数为 1000 阶，正交投影算子(3.7)通过本章第一节给出的1P P生成，k 为投影空间维数，参数 0.1，取不同的右端扰动项 e /b，比较 Arnoldi Tikhonov (AT) 方法、Arnoldi-投影 Tikhonov(AFT) 方法和 Arnoldi-投影 Fractional Tikhonov(APFT)方法的计算解与真实解相对误差范数结果如下表所示：表 5.1 N=1000， =1e 2时，解的相对误差表表 5.2 N=1000， =1 e 1时，解的相对误差表表 5.1 N=1000， =1 e 2时，解的相对误差表Problem k AT k AFT k APFTBarrt 10 4.27e-1 10 3.69e-1 3 2.93e-1


本文编号：3070171