一类自仿集与自仿测度的维数理论研究

发布时间：2017-07-19 05:21

  本文关键词：一类自仿集与自仿测度的维数理论研究

  更多相关文章： 分形 概率论 动力系统 自仿集 维数理论

【摘要】：在一个度量空间中,迭代函数系统(IFS)是一种重要的生成分形的手段。人们最为关注的两类由IFS生成的分形集是自相似集和自仿集。其中,自仿集是由压缩仿射组成的IFS生成的吸引子。在欧式空间中,自仿集是自相似集的推广。本文将研究自仿集的维数。关于自相似集的维数研究已有系统完整的结果。而自仿集的维数计算及估计却是相当困难。这是因为,相比于自相似集只需要讨论覆盖的大小和位置关系,自仿集覆盖的形状多变也是一个难点。关于自仿集的维数,本文获得如下两个结果:1)针对一般自仿集的维数在多大程度上不依赖IFS中仿射的平移量的问题,本文将Jordan,Pollicott,Simon[23]的相关定理进行了推广。通过de Finetti定理,本文把原定理条件中,平移量Y的随机性由独立同分布序列(iid sequence)推广至一类可展序列(spreadable sequence),从而使得结论适用于更广的一类随机自仿集。2)针对特殊自仿集的维数,给出了一个计算一部分Feng-Wang自仿集[15]的Minkowski维数的定理。该定理指出,其Minkowski维数公式是由自仿集在水平或垂直方向的投影集的Minkowski维数,以及迭代矩形的系数决定的。该定理包含了Feng,Wang[15]的结果。最后,举出两例不满足定理条件的自仿集。其中一例是Barański集,因而其维数结果仍可由Barański[2]的结果得到。另一例是尚未被研究过的Feng-Wang集,本文通过使用Feng,Wang[15]的组合结果,证明了该集合的Minkowski维数仍可由上述定理的维数公式得到。此外,通过使用Mc Mullen的方法,本文还估计了该集合的Hausdorff维数下界。
【关键词】：分形 概率论 动力系统 自仿集 维数理论
【学位授予单位】：华南理工大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O189.11
【目录】：

• 摘要5-6
• Abstract6-9
• Chapter 1 中文综述9-17
• 1.1 维数理论9-11
• 1.2 自仿集11-17
• 1.2.1 一般自仿集的维数11-13
• 1.2.2 特殊自仿集的维数13-17
• Chapter 2 Preparatory material17-58
• 2.1 Independence17-22
• 2.2 Conditional expectations22-27
• 2.3 Ergodic theorems27-34
• 2.4 Ergodic decomposition34-40
• 2.5 Lyapunov exponents, exterior product and singular values40-45
• 2.5.1 Lyapunov exponents40-42
• 2.5.2 Exterior product and singular values42-45
• 2.6 The Furstenberg-Kesten Theorem45-56
• 2.7 Miscellaneous56-58
• Chapter 3 Bedford-McMullen sets58-72
• 3.1 Minkowski dimension and Packing dimension58-60
• 3.2 Lemmas60-64
• 3.3 Hausdorff dimension64-66
• 3.4 Hausdorff measure66-72
• Chapter 4 Feng-Wang self-affine sets72-85
• 4.1 Introduction72-73
• 4.2 Proof of Theorem 4.1.273-77
• 4.3 Counterexamples77-85
• Chapter 5 Randomly perturbed self-affine attractors85-107
• 5.1 Introduction85-92
• 5.2 Preparatory material92-97
• 5.2.1 Singular value function92-95
• 5.2.2 Thermodynamical formalism95-97
• 5.3 Main results97-103
• 5.4 Generalization103-107
• Bibliography107-111
• 攻读硕士学位期间取得的研究成果111-112
• 致谢112-113
• Ⅳ－2答辩委员会对论文的评定意见113

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本文编号：561416